COMO OBTENER LEYES FUNDAMENTALES DE LA FÍSICA
(EXPLICADO EN 15 MINUTOS) 08-10-2011
El concepto de grupo
Lo primero es explicar el concepto de grupo. Un grupo no es más que una colección de objetos agrupados
según un cierto principio y que se relacionan unos con otros de forma que se generan nuevos miembros a partir
de los antiguos. Esta definición tan genérica y abstracta se entiende mejor con un ejemplo: Consideremos el
grupo de los números enteros agrupados bajo la operación de la suma. Esta colección de números es un grupo
porque cumple 4 requisitos básicos: 1º) La suma de 2 números cualesquiera siempre devuelve otro número
2º) Cumple la operación asociativa 3º) Cumple la operación identidad 4º) Todo número tiene su inverso
Consideremos 3 objetos cualesquiera 1,2 y 3. Estos 3 objetos se pueden ordenar de 6 formas diferentes:
123, 132, 213, 231, 312, 321. Llamaremos a las 6 reordenaciones e, a, b, c, p, q respectivamente. Se
puede comprobar fácilmente que las 6 transformaciones cumplen los 4 requisitos anteriores y por lo
tanto forman un grupo. Entonces decimos que los 3 objetos bajo la acción del ordenamiento forman un
grupo de orden 6. Tenemos un grupo H formado por las transformaciones {e,a,b,c,p,q}, sin embargo,
este grupo se puede dividir en 2 subgrupos más pequeños que también son grupos por si mismos ya que
también cumplen los 4 requisitos. Estos 2 subgrupos son : {e,p,q}y {e}. Por tanto, considerando el
grupo H junto con los posibles subgrupos tenemos que el orden del conjunto es 6, 3, 1. El índice es
el resultado de dividir el orden del grupo más grande entre el pequeño más próximo, por tanto el
índice del grupo H sería: 6/3=2 y 3/1=3. Resumiendo el grupo H tiene orden 6,3,1 e índice 2,3.
Bien, pues con estas definiciones tan sencillas vamos a hacer algo increíble: vamos a deducir
propiedades fundamentales del universo en el que habitamos. Desde hace tiempo, los físicos se
han dado cuenta de que las leyes más fundamentales del universo cumplen criterios de simetría.
El teorema de Noether nos muestra el poder de la simetría en todo su esplendor: toda magnitud
física que se conserva es consecuencia de una simetría. Así, por ejemplo, la conservación de la
energía, el momento lineal y el momento angular son debidos a la simetría temporal, de traslación
y de rotación del espacio respectivamente.
La simetría se puede definir como todas aquellas transformaciones que dejan al sistema físico en
cuestión invariante, es decir, representado por las mismas leyes físicas. La simetría, matemáticamente
está descrita por la teoría de grupos que explica las normas de interacción entre grupos que son
(muy básicamente) los objetos que hemos descrito arriba. Para empezar a darnos cuenta de que la
naturaleza "utiliza" la teoría de grupos y ordena en grupos sus elementos constituyentes más
fundamentales vamos a explicar brevemente como los grupos resuelven un problema matemático
muy antiguo:
Las ecuaciones de orden 5
Desde hace tiempo se sabe que las ecuaciones cuadráticas (ecuaciones de orden 2) que son de la forma
ax^2+bx+c=0 se resuelven de forma muy sencilla con una fórmula en la que sólo aparece una raíz
cuadrada y los coeficientes a, b, c: ±raíz 2(b^2-4ac/2a). En el caso de las ecuaciones de orden 3 y de
orden 4 también existe una fórmula similar. Sin embargo en el caso de las de orden 5 pasaba algo
muy extraño: parecía imposible resolverlas con una fórmula similar de hecho ya antiguamente había
indicios de que era imposible resolverlas de esta forma. Esto era muy extraño: ¿Que tenían de diferente
las ecuaciones de orden 5 con respecto al resto? ¿Por que la naturaleza (no olvidemos que estas
ecuaciones se usan frecuentemente para representar fenómenos físicos reales) distingue entre ecuaciones
de orden 4 y 5?
En 1832 un joven matemático llamado Evarist Galois de solo 20 años dejó escritos unos documentos
matemáticos (la noche antes de morir) que explicaban este problema y que constituyeron el comienzo de una
rama de las matemáticas que nos permiten sondear las leyes más profundas del Universo: la teoría de grupos.
La respuesta al problema de las ecuaciones de orden 5 es tan sencilla como impresionante: no se pueden
resolver por el método de radicales porque sus soluciones no pertenecen al grupo de simetría correcto.
Galois fue capaz de demostrar que solo son resolubles por este método las ecuaciones cuyas soluciones tienen
subgrupos normales (cumplen la propiedad conmutativa) y además contienen índices que son números no
factorizables (primos). Para ver esto claro veamos los grados e índices de las soluciones de las ecuaciones
de grado 4 y de grado 5:
Grado 4: Grupo de permutaciones de 4 elementos, 24 posibles permutaciones que contienen un subgrupo de 8,
otro de 4, otro de 2 y el grupo identidad de 1. Los indices son 24/8=3 8/4=2 4/2=2 y 2/1=2. Por tanto los
números son: Grados: 24=8,4,2,1 Índices: 3,2,2,2. Este grupo es resoluble ya que los subgrupos son normales
y los índices son primos.
Grado 5: Grupo de permutaciones de 5 elementos, 120 permutaciones que contienen un subgrupo de 60 y otro
de 1. Los números son: Grado: 120=60,1 Índice: 2, 60. Este grupo no es resoluble por radicales.
La clasificación de las partículas fundamentales
Hemos visto un ejemplo que supone un claro indicio de que la naturaleza utiliza criterios de simetría en sus
leyes más profundas. La prueba definitiva y espectacular de que esto es realmente así se produjo en el
campo de la física de partículas. !La teoría de grupos explica la clasificación y las propiedades de las
partículas fundamentales!:
Hacia 1960 se sabía que existían 8 bariones y 8 mesones (ver figuras abajo) agrupados según la conservación
de dos propiedades(el isospin y la extrañeza). Tanto los bariones como los mesones se agrupaban en 4 grupos:
1 grupo de 3 (hiperones sigma y piones) dos grupos de 2 (neutrón, protón, hiperones xi y kaones) y un grupo
de 1 (hiperonlambda y meson eta).
Clasificación bariones Clasificación mesones
Entonces, los físicos recurrieron una vez más al enorme poder de las matemáticas y utilizando la teoría de
grupos tomaron el grupo SU(3) (una generalización del grupo de rotaciones de 3 objetos) y encontraron
que el grupo SU(3) es de orden 8 y tiene 4 subgrupos: 1 de orden 3, 2 de orden 2 y 1 de orden 1. !Explica
perfectamente la distribución de los hadrones! El gran físico Murray Gell-Mann y otros conjeturaron después
que los hadrones podrían estar constituidos por partículas más pequeñas, entonces pegando 3 copias de SU(3)
obtuvieron: 3x3x3=1+8+8+10 (un subgrupo de 10, 2 de 8 y uno de 1): Increíble, esto explicaba la existencia
de los 8 bariones, los 8 mesones y predecía 10 partículas de vida muy corta (resonancias) y otra partícula de
propiedades distintas a las demás. En aquel momento solo se conocían 9 resonancias, Gell-Mann confiando
en el poder de la simetría predijo la existencia de una nueva resonancia (omega-) y de 3 tipos de quarks.
Cuando todas estas partículas fueron descubiertas la naturaleza nos confirmó que usa la teoría de grupos en sus
leyes más profundas y que podemos utilizarla para predecir su estructura fundamental.
La gran unificación de las fuerzas fundamentales
Actualmente nuestra mejor teoría sobre física de partículas es el llamado modelo estándar (SM). Esta teoría ha
sido verificada experimentalmente por miles de experimentos y agrupa todo nuestro actual conocimiento sobre
las interacciones entre partículas fundamentales. El SM incorpora 3 de las 4 fuerzas fundamentales (la gravedad
es demasiado débil para tenerse en cuenta en física de partículas):
- El electromagnetismo descrito por el grupo U(1), la partícula que transmite la interacción es el fotón.
- La fuerza débil descrita por el grupo SU(2), las partículas mediadoras son el W y el Z.
- La fuerza fuerte descrita por el grupo SU(3), las partículas mediadoras son los gluones.
Por ello el SM utiliza el grupo SU(3)XSU(2)XSU(1). Basándose en este grupo el SM predijo la existencia
y algunas propiedades de todo un grupo de nuevas partículas: las W,Z, los gluones, el quark top, y el quark
extraño. Todas estas partículas han sido descubiertas recientemente (increíble el enorme poder del intelecto
humano armado con las matemáticas) pero también se ha demostrado una predicción espectacular basada
también en argumentos de simetría: a altas energías el electromagnetismo y la fuerza débil son la misma
fuerza. Los portadores de ambas fuerzas, el fotón y las partículas W y Z son idénticos a alta energía. Sin,
embargo, a bajas energías (por debajo de 246 GeV) está simetría se rompe y ambas fuerzas se hacen
diferentes, además las partículas W y Z adquieren una gran masa. El SM predice este proceso de ruptura
de la simetría y predice la existencia de una nueva partícula responsable del proceso: la partícula de Higgs.
El Higgs aún no ha sido descubierto pero pocos dudan de que será descubierto en los próximos meses en
el LHC. Y ahora para terminar, una pregunta obvia: Si el electromagnetismo y la fuerza débil son la misma
fuerza a altas energías, ¿No podría ser que pasase lo mismo con la fuerza fuerte? Esta cuestión es abordada
por las llamadas teorías de gran unificación (GUTs). Resulta que el grupo natural que explicaría la unificación
de las 3 fuerzas fundamentales es el SU(5). Este grupo predice la existencia de 2 nuevas partículas: la X y la Y
pero aparecerían a energías enormes totalmente fuera de nuestro alcance. También predice algo increíble: el
protón sería inestable y se desintegraría. Actualmente a través de experimentos encaminados a detectar la
desintegración del protón se ha descartado la versión más sencilla de SU(5) para explicar la gran unificación,
sin embargo, los físicos siguen explorando versiones más complejas convencidos de que la gran unificación
es posible. ¿Porqué motivo la naturaleza iva a unificar solo 2 de las 4 fuerzas? ¿Porqué no las 4?
Fuentes: "Temerosa simetría. La busqueda de belleza en la física moderna" A.Zee
PD: El escenario de la gran unificación es de una simplicidad y belleza tal que muchos físicos, convencidos
de que la simetría puede explicar el origen y las características de nuestro universo están convencidos de
que la gran unificación es posible. Imaginar el siguiente hipotético escenario de como se "creó" nuestro
universo (modelo especulativo e hipotético sólo para inducir una idea general de las GUT):
- Época pre-bigbang: no existe espacio-tiempo, ni entropía, ni magnitudes físicas, solo existe una única
"fuerza" y un "campo" asociado y una gran simetría descrita por el grupo E(8) (el más grande de los
grupos de Lie).
- Comienzo del big-bang: El campo asociado ¿campo de Higgs? rompe la simetría de forma espontánea
el grupo E(8) se divide en dos: el SO(10) que ¿describe la fuerza de la gravedad? (la gravedad todavía
no ha podido incorporarse satisfactoriamente) y el SU(5) que describe la fuerza unificada fuerte-electrodébil.
Aparecen los conceptos de espacio-tiempo y la gravedad, se produce la inflación, el campo inflatón se
traduce en una gran energía que produce un universo plano y comienza la expansión (estándar) del
Universo. Aparecen magnitudes físicas como la energía, el momento lineal y el momento angular que
tienen valor inicial 0 y que son consecuencia de las características simétricas del espacio-tiempo.
- 2ª ruptura de la simetría: Cuando la temperatura desciende hasta 10exp15 GeV tiene lugar la 2ª
ruptura espontánea de la simetría: el grupo SU(5) se divide en el SU(3) que describe la fuerza fuerte
y el SU(2)XU(1) que describe la fuerza electrodébil. La aparición de la fuerza fuerte posibilitará la
aparición de los núcleos atómicos. Aparecen magnitudes físicas como la carga de color y de sabor o
la entropía (nótese que también parten de 0 por criterios de simetría).
- 3ª (y última) ruptura de la simetría: Cuando la temperatura desciende hasta 246GeV se produce la
ruptura electrodébil (ésta ha sido demostrada empíricamente). El grupo SU(2)XU(1) se escinde en el
SU(2) que describe la fuerza débil y el U(1) que describe el electromagnetismo. Aparecen las
propiedades definitivas del universo en el que vivimos, aparecen los núcleos atómicos, la materia y
la antimateria, la carga eléctrica y todas las magnitudes físicas que conocemos. (Nótese de nuevo
que todas estas magnitudes, debido a las condiciones de la simetría parten de 0).
Todo este paisaje de enorme belleza y simplicidad sobre la creación del Universo se resume en el
siguiente esquema:
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