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COMO OBTENER LEYES FUNDAMENTALES DE LA FÍSICA

(EXPLICADO EN 15 MINUTOS)     08-10-2011

El concepto de grupo

Lo primero es explicar el concepto de grupo. Un grupo no es más que una colección de objetos agrupados

según un cierto principio y que se relacionan unos con otros de forma que se generan nuevos miembros a partir

de los antiguos. Esta definición tan genérica y abstracta se entiende mejor con un ejemplo: Consideremos el

grupo de los números enteros agrupados bajo la operación de la suma. Esta colección de números es un grupo

porque cumple 4 requisitos básicos: 1º) La suma de 2 números cualesquiera siempre devuelve otro número

2º) Cumple la operación asociativa 3º) Cumple la operación identidad 4º) Todo número tiene su inverso

Consideremos 3 objetos cualesquiera 1,2 y 3. Estos 3 objetos se pueden ordenar de 6 formas diferentes:

123, 132, 213, 231, 312, 321. Llamaremos a las 6 reordenaciones e, a, b, c, p, q respectivamente. Se

puede comprobar fácilmente que las 6 transformaciones cumplen los 4 requisitos anteriores y por lo

tanto forman un grupo. Entonces decimos que los 3 objetos bajo la acción del ordenamiento forman un

grupo de orden 6. Tenemos un grupo H formado por las transformaciones {e,a,b,c,p,q}, sin embargo,

este grupo se puede dividir en 2 subgrupos más pequeños que también son grupos por si mismos ya que

también cumplen los 4 requisitos. Estos 2 subgrupos son : {e,p,q}y {e}. Por tanto, considerando el

grupo H junto con los posibles subgrupos tenemos que el orden del conjunto es 6, 3, 1. El índice es

el resultado de dividir el orden del grupo más grande entre el pequeño más próximo, por tanto el

índice del grupo H sería: 6/3=2 y 3/1=3. Resumiendo el grupo H tiene orden 6,3,1 e índice 2,3.

Bien, pues con estas definiciones tan sencillas vamos a hacer algo increíble: vamos a deducir

propiedades fundamentales del universo en el que habitamos. Desde hace tiempo, los físicos se

han dado cuenta de que las leyes más fundamentales del universo cumplen criterios de simetría.

El teorema de Noether nos muestra el poder de la simetría en todo su esplendor: toda magnitud

física que se conserva es consecuencia de una simetría. Así, por ejemplo, la conservación de la

energía, el momento lineal y el momento angular son debidos a la simetría temporal, de traslación

y de rotación del espacio respectivamente.

La simetría se puede definir como todas aquellas transformaciones que dejan al sistema físico en

cuestión invariante, es decir, representado por las mismas leyes físicas. La simetría, matemáticamente

está descrita por la teoría de grupos que explica las normas de interacción entre grupos que son

(muy básicamente) los objetos que hemos descrito arriba. Para empezar a darnos cuenta de que la

naturaleza "utiliza" la teoría de grupos y ordena en grupos sus elementos constituyentes más

fundamentales vamos a explicar brevemente como los grupos resuelven un problema matemático

muy antiguo:

Las ecuaciones de orden 5

Desde hace tiempo se sabe que las ecuaciones cuadráticas (ecuaciones de orden 2) que son de la forma

ax^2+bx+c=0 se resuelven de forma muy sencilla con una fórmula en la que sólo aparece una raíz

cuadrada y los coeficientes a, b, c: ±raíz 2(b^2-4ac/2a). En el caso de las ecuaciones de orden 3 y de

orden 4 también existe una fórmula similar. Sin embargo en el caso de las de orden 5 pasaba algo

muy extraño: parecía imposible resolverlas con una fórmula similar de hecho ya antiguamente había

indicios de que era imposible resolverlas de esta forma. Esto era muy extraño: ¿Que tenían de diferente

las ecuaciones de orden 5 con respecto al resto? ¿Por que la naturaleza (no olvidemos que estas

ecuaciones se usan frecuentemente para representar fenómenos físicos reales) distingue entre ecuaciones

de orden 4 y 5?

En 1832 un joven matemático llamado Evarist Galois de solo 20 años dejó escritos unos documentos

matemáticos (la noche antes de morir) que explicaban este problema y que constituyeron el comienzo de una

rama de las matemáticas que nos permiten sondear las leyes más profundas del Universo: la teoría de grupos.

La respuesta al problema de las ecuaciones de orden 5 es tan sencilla como impresionante: no se pueden

resolver por el método de radicales porque sus soluciones no pertenecen al grupo de simetría correcto.

Galois fue capaz de demostrar que solo son resolubles por este método las ecuaciones cuyas soluciones tienen

subgrupos normales (cumplen la propiedad conmutativa) y además contienen índices que son números no

factorizables (primos). Para ver esto claro veamos los grados e índices de las soluciones de las ecuaciones

de grado 4 y de grado 5:

Grado 4: Grupo de permutaciones de 4 elementos, 24 posibles permutaciones que contienen un subgrupo de 8,

otro de 4, otro de 2 y el grupo identidad de 1. Los indices son 24/8=3 8/4=2 4/2=2 y 2/1=2. Por tanto los

números son: Grados: 24=8,4,2,1 Índices: 3,2,2,2. Este grupo es resoluble ya que los subgrupos son normales

y los índices son primos.

Grado 5: Grupo de permutaciones de 5 elementos, 120 permutaciones que contienen un subgrupo de 60 y otro

de 1. Los números son: Grado: 120=60,1 Índice: 2, 60. Este grupo no es resoluble por radicales.

La clasificación de las partículas fundamentales

Hemos visto un ejemplo que supone un claro indicio de que la naturaleza utiliza criterios de simetría en sus

leyes más profundas. La prueba definitiva y espectacular de que esto es realmente así se produjo en el

campo de la física de partículas. !La teoría de grupos explica la clasificación y las propiedades de las

partículas fundamentales!:

Hacia 1960 se sabía que existían 8 bariones y 8 mesones (ver figuras abajo) agrupados según la conservación

de dos propiedades(el isospin y la extrañeza). Tanto los bariones como los mesones se agrupaban en 4 grupos:

1 grupo de 3 (hiperones sigma y piones) dos grupos de 2 (neutrón, protón, hiperones xi y kaones) y un grupo

de 1 (hiperonlambda y meson eta).

    Clasificación bariones                             Clasificación mesones

Entonces, los físicos recurrieron una vez más al enorme poder de las matemáticas y utilizando la teoría de

grupos tomaron el grupo SU(3) (una generalización del grupo de rotaciones de 3 objetos) y encontraron

que el grupo SU(3) es de orden 8 y tiene 4 subgrupos: 1 de orden 3, 2 de orden 2 y 1 de orden 1. !Explica

perfectamente la distribución de los hadrones! El gran físico Murray Gell-Mann y otros conjeturaron después

que los hadrones podrían estar constituidos por partículas más pequeñas, entonces pegando 3 copias de SU(3)

obtuvieron: 3x3x3=1+8+8+10 (un subgrupo de 10, 2 de 8 y uno de 1): Increíble, esto explicaba la existencia

de los 8 bariones, los 8 mesones y predecía 10 partículas de vida muy corta (resonancias) y otra partícula de

propiedades distintas a las demás. En aquel momento solo se conocían 9 resonancias, Gell-Mann confiando

en el poder de la simetría predijo la existencia de una nueva resonancia (omega-) y de 3 tipos de quarks.

Cuando todas estas partículas fueron descubiertas la naturaleza nos confirmó que usa la teoría de grupos en sus

leyes más profundas y que podemos utilizarla para predecir su estructura fundamental.

La gran unificación de las fuerzas fundamentales

Actualmente nuestra mejor teoría sobre física de partículas es el llamado modelo estándar (SM). Esta teoría ha

sido verificada experimentalmente por miles de experimentos y agrupa todo nuestro actual conocimiento sobre

las interacciones entre partículas fundamentales. El SM incorpora 3 de las 4 fuerzas fundamentales (la gravedad

es demasiado débil para tenerse en cuenta en física de partículas):

- El electromagnetismo descrito por el grupo U(1), la partícula que transmite la interacción es el fotón.

- La fuerza débil descrita por el grupo SU(2), las partículas mediadoras son el W y el Z.

- La fuerza fuerte descrita por el grupo SU(3), las partículas mediadoras son los gluones.

Por ello el SM utiliza el grupo SU(3)XSU(2)XSU(1). Basándose en este grupo el SM predijo la existencia

y algunas propiedades de todo un grupo de nuevas partículas: las W,Z, los gluones, el quark top, y el quark

extraño. Todas estas partículas han sido descubiertas recientemente (increíble el enorme poder del intelecto

humano armado con las matemáticas) pero también se ha demostrado una predicción espectacular basada

también en argumentos de simetría: a altas energías el electromagnetismo y la fuerza débil son la misma

fuerza. Los portadores de ambas fuerzas, el fotón y las partículas W y Z son idénticos a alta energía. Sin,

embargo, a bajas energías (por debajo de 246 GeV) está simetría se rompe y ambas fuerzas se hacen

diferentes, además las partículas W y Z adquieren una gran masa. El SM predice este proceso de ruptura

de la simetría y predice la existencia de una nueva partícula responsable del proceso: la partícula de Higgs.

El Higgs aún no ha sido descubierto pero pocos dudan de que será descubierto en los próximos meses en

el LHC. Y ahora para terminar, una pregunta obvia: Si el electromagnetismo y la fuerza débil son la misma

fuerza a altas energías, ¿No podría ser que pasase lo mismo con la fuerza fuerte? Esta cuestión es abordada

por las llamadas teorías de gran unificación (GUTs). Resulta que el grupo natural que explicaría la unificación

de las 3 fuerzas fundamentales es el SU(5). Este grupo predice la existencia de 2 nuevas partículas: la X y la Y

pero aparecerían a energías enormes totalmente fuera de nuestro alcance. También predice algo increíble: el

protón sería inestable y se desintegraría. Actualmente a través de experimentos encaminados a detectar la

desintegración del protón se ha descartado la versión más sencilla de SU(5) para explicar la gran unificación,

sin embargo, los físicos siguen explorando versiones más complejas convencidos de que la gran unificación

es posible. ¿Porqué motivo la naturaleza iva a unificar solo 2 de las 4 fuerzas? ¿Porqué no las 4?

Fuentes: "Temerosa simetría. La busqueda de belleza en la física moderna" A.Zee

 

PD: El escenario de la gran unificación es de una simplicidad y belleza tal que muchos físicos, convencidos

de que la simetría puede explicar el origen y las características de nuestro universo están convencidos de

que la gran unificación es posible. Imaginar el siguiente hipotético escenario de como se "creó" nuestro

universo (modelo especulativo e hipotético sólo para inducir una idea general de las GUT):

- Época pre-bigbang: no existe espacio-tiempo, ni entropía, ni magnitudes físicas, solo existe una única

"fuerza" y un "campo" asociado y una gran simetría descrita por el grupo E(8) (el más grande de los

grupos de Lie).

- Comienzo del big-bang: El campo asociado ¿campo de Higgs? rompe la simetría de forma espontánea

el grupo E(8) se divide en dos: el SO(10) que ¿describe la fuerza de la gravedad? (la gravedad todavía

no ha podido incorporarse satisfactoriamente) y el SU(5) que describe la fuerza unificada fuerte-electrodébil.

Aparecen los conceptos de espacio-tiempo y la gravedad, se produce la inflación, el campo inflatón se

traduce en una gran energía que produce un universo plano y comienza la expansión (estándar) del

Universo. Aparecen magnitudes físicas como la energía, el momento lineal y el momento angular que

tienen valor inicial 0 y que son consecuencia de las características simétricas del espacio-tiempo.

- 2ª ruptura de la simetría: Cuando la temperatura desciende hasta 10exp15 GeV tiene lugar la 2ª

ruptura espontánea de la simetría: el grupo SU(5) se divide en el SU(3) que describe la fuerza fuerte

y el SU(2)XU(1) que describe la fuerza electrodébil. La aparición de la fuerza fuerte posibilitará la

aparición de los núcleos atómicos. Aparecen magnitudes físicas como la carga de color y de sabor o

la entropía (nótese que también parten de 0 por criterios de simetría).

- 3ª (y última) ruptura de la simetría: Cuando la temperatura desciende hasta 246GeV se produce la

ruptura electrodébil (ésta ha sido demostrada empíricamente). El grupo SU(2)XU(1) se escinde en el

SU(2) que describe la fuerza débil y el U(1) que describe el electromagnetismo. Aparecen las

propiedades definitivas del universo en el que vivimos, aparecen los núcleos atómicos, la materia y

la antimateria, la carga eléctrica y todas las magnitudes físicas que conocemos. (Nótese de nuevo

que todas estas magnitudes, debido a las condiciones de la simetría parten de 0).

Todo este paisaje de enorme belleza y simplicidad sobre la creación del Universo se resume en el

siguiente esquema:

 

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Comentarios enviados:
Autor: IIII
8/10/2011
IIII
Autor: pepito
8/10/2011
Excelente explicación del mundo de las simetrías. Con respecto a la gran unificación la aproximación matemática más obvia es tirar de SU(5). Pero la realidad parece ser un poco más complicada pues usando SU(5) se obtiene un tiempo de desintegración del neutrón incompatible con el real. Por ello se están estudiando otros enfoques más complicados como el tiempo discreto o la teoría de cuerdas, que también tiene sus grupos de simetría, bastante más complicados que el sencillo grupo SU(5).
Autor: planck
9/10/2011
Muchas gracias, es muy cierto lo que comentas, las predicciones de SU(5) son incompatibles con los actuales límites detectados experimentalmente para la vida media del protón, la naturaleza parece ser bella y simple, pero no puede ser demasiado simple ya que debe generar la gran diversidad que se observa. Modelos con supersimetría (SUSY) podrían resolver este problema ya que estos predicen una vida media del protón aun compatible con las observaciones. Además SUSY resolvería el problema de la predicción teórica del número de fermiones ya que las teorías de física de partículas basadas en la simetría (teorias de Yang-Mils) permiten predecir el número de bosones pero no dicen nada de los fermiones. Si se encontraran partículas SUSY en el LHC sería un hallazgo espectacular y trascendente. Veremos a ver cual de los modelos es el que ha elegido la naturaleza.
Autor: Eduwardus email: (eduwardus@yahoo.es)
7/3/2012
Me encanta la simplicidad y claridad del artículo. Sin embargo, la naturaleza no suele cumplir siempre nuestras expectativas de belleza. La estética del grupo SU(5) podría ser como los epiciclos de Ptolomeo, preciosos círculos, la armonía de las esferas, pero la realidad muestra elipses mucho mas feas en las orbitas de los planetas y extraños gurruncios alrededor de los agujeros negros. Saludos
Autor: planck email: (ablazan@ono.com)
9/3/2012
Muy cierto Eduwardus, además la naturaleza no puede ser "demasiado simple" ya que si lo fuese no podría generar la diversidad y complejidad de nuestro Universo capaz de conseguir la existencia de científicos que se preguntan por dichas leyes fundamentales. Un saludo.