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30-12-2016

COMPUTANDO LOS BITS DE LA REALIDAD

Más de 100 años después de su descubrimiento la mecánica cuántica sigue produciendo una sensación de

perplejidad cuando intentamos explicar los fenómenos cuánticos en términos de fenómenos conocidos. A

pesar de que aún no disponemos de computadores cuánticos, los Físicos ya han ideado algoritmos cuánticos

que, en ciertos casos, superan de forma espectacular la capacidad de computo de los ordenadores clásicos.

Sin embargo, el verdadero mecanismo Físico responsable de esta "aceleración cuántica" sigue siendo desconocido.

En este artículo mostraremos el lado más extraño y profundo del mundo cuántico o lo que es lo mismo el lado más

extraño de la realidad.

Midiendo varios estados de una vez

consideremos una función booleana f(x) que dados dos posibles valores de x, x=0 y x=1 produce 2 posibles

valores: f(x)=0 o f(x)=1, es decir, existen 4 posibles valores para esta función: f(0)=0, f(0)=1, f(1)=0, f(1)=1.

Bob que es el que prepara el experimento, elige uno de los posibles valores de x y le pide a Alice que adivine

si f(0)=f(1) o no. Es evidente que la única forma de saberlo es medir f(0), medir f(1) y compararlos. ¿Pero, es

esta la única forma? Ante la mirada atónita de Bob, Alice saca de la maleta un computador cuántico de solo 2

qubits A y B y conecta el ordenador a la caja negra que contiene la función f(x) que queremos evaluar. Este

computador posee un "hardware" con solo 2 puertas lógicas: la puerta Uf y la puerta H. La puerta Uf simplemente

suma en módulo 2 los dos valores de entrada, es decir, sus resultados son 0+0=0 1+0=1, 0+1=1 y 1+1=0 mientras

que la puerta H "mezcla" los 2 qubits en un estado de superposición: 50% del valor 0 y 50% y 1. Alice ejecuta el

algoritmo cuántico con las 2 puertas anteriores y mide el qubit A. Esta medición le dirá directamente la solución al

problema: si A=0 entonces f(0)=f(1), si A=1 entonces f(0) es distinto de f(1) ¡ Con una sola medición Alice ha

evaluado 2 valores de f(x) ! ¿Como es esto posible? Vamos a analizar detenidamente los 3 pasos del algoritmo

para entender que ha sucedido:

Paso 1: El computador toma los 2 qubits A y B que se encuentran en un estado de superposición (50% 0 y 50% 1)

y los hace pasar por la puerta Uf junto con la función f(x) que queremos evaluar. El resultado será el siguiente:

si f(x)=0 el estado no cambia pero si f(x)=1 el estado 0 pasa a 1 y el 1 pasa a 0. Es decir, si f(x)=1 se invierte el estado.

Esto puede representarse de la siguiente forma:

Paso 2: El resultado de la puerta anterior entra en la puerta H que vuelve a crear una superposición de ambos registros.

Básicamente es como realizar una interferencia entre los estados: si ambos son 0 o 1 la "interferencia" produce un resultado

final 0, si ambos estados son 0,1 o 1,0 entonces la "interferencia" produce un 1. De esta forma Alice con una sola medición

sabe la respuesta. Esto puede verse de forma esquemática (aunque poco rigurosa) en la siguiente figura:

 

Proyección retardada en el tiempo

En la descripción anterior hemos eliminado una parte muy importante: la preparación inicial de los qbits que hace Bob.

Para tener una descripción completa es necesario incluir esta parte y al hacerlo empezamos a vislumbrar la parte más

extraña de la realidad:

Antes de entregar a Alice la caja negra con la función f(x) Bob tiene que elegir los valores de x, es decir, los valores

de los qbits de entrada. Para ello Bob hace la siguiente preparación:

Paso 1: Bob mezcla ambos qbits en un 50% del valor 0 y 50% y 1 (puerta H)

Paso 2: Bob mide el qbit B y obtiene por ejemplo el valor 0

Paso 3: Bob transforma el valor 0 en el valor 1 mediante una transformación unitaria

Paso 4: Bob entrega a Alice los 2 qubits y la caja con la función f(x) para que ella trate de resolver el problema.

Ahora viene algo sorprendente: para Bob el qbit B ya no está en un estado superpuesto sino que tiene ya un estado definido: el

qbit B tiene el valor 1 pero para Alice que no sabe el valor medido por Bob el qbit B está en un estado superpuesto. Es decir:

¡ Bob y Alice "ven" funciones de onda diferentes: lo que para Alice es un estado mezcla de 0 y 1 para Bob es ya un 1 !

Todo esto nos indica algo sorprendente: la función de onda depende de la información que tenga el observador sobre el sistema,

¡ La "realidad" es diferente para observadores con información diferente ! Actualmente, más de 100 años después del

descubrimiento de la mecánica cuántica aún no se conoce con exactitud el mecanismo Físico que confiere a los computadores

cuánticos la ventaja sobre los clásicos, existen varias posibles explicaciones, la más extendida es el entrelazamiento cuántico. Sin

embargo, existen otras explicaciones como la llamada retrocausalidad. Esta nos dice algo verdaderamente impactante: si suponemos

que la medida de Bob (la proyección de la función de onda sobre el vector de autovalores en un espacio de Hilbert) "viaja" hacia

adelante en el tiempo para hacerla coincidir con la de Alice (y viceversa: la medida de Alice viaja hacia atrás en el tiempo para

coincidir con la de Bob) ¡La ventaja de los ordenadores cuánticos respecto a los clásicos queda explicada! Esto implicaría

una retrocausalidad en el tiempo entre las medidas de Bob y de Alice (el formalismo cuántico permite que la proyección del estado

durante la medida se pueda realizar antes o después de cualquier transformación unitaria). Esto implicaría que la ventaja de los

computadores cuánticos se produce debido a una "regularización" de la información extra que posee Bob sobre Alice.

Buscando a la vez en todos los registros de una base de datos

Imaginar que tenemos una enorme base de datos con toda la información del conocimiento humano almacenada de forma

aleatoria en un enorme fichero informático. Lógicamente, buscar un dato concreto (un bit de información) dentro de esta

base de datos sería una tarea enormemente tediosa: tendríamos que buscar uno por uno en todos los bits del fichero hasta

encontrar el dato que buscamos. Se estima que Google puede contener actualmente unos 1016 bits de información.

Cualquier computador clásico tendría que realizar del orden de 1016 mediciones para encontrar el bit, sin embargo,

¡ Nuestro computador cuántico encontraría el bit de información en solo 108 operaciones de media !

El algoritmo de Grover es un algoritmo que puede ser implementado en un computador cuántico y que nos permitirá

buscar un bit dentro de una base de datos desordenada a una velocidad que ningún computador clásico puede siquiera

soñar. Para entender como funciona haremos dos simplificaciones: consideraremos que nuestra base de datos solo contiene

una cantidad 2n de datos y que el dato que buscamos es un 1 escondido en una enorme secuencia de ceros. El

algoritmo de Grover se puede representar con solo 2 pasos que se repiten:

La primera puerta simplemente mezcla nuestros n qbits en un estado de superposición de 50% 0 50% 1. La

amplitud de probabilidad de todos los qbits de nuestro computador cuántico es la misma:

En la segunda puerta hacemos "interferir" nuestros n qubits con nuestra base de datos (puerta Of). En todos los bits

en los que la base de datos vale 0 (todos menos x*) el estado permanece inalterado ,sin embargo, el estado del

qubit x* que tiene el valor 1 se invierte. ¡Ahora el estado que buscamos es el único que tiene una amplitud negativa!:

El siguiente paso es hacer pasar la función de onda resultante a través de la puerta D. Esta puerta realiza una

transformación unitaria de forma que cada estado se transforma en (2μ-α) donde α es la

amplitud del estado que estamos considerando y μ es la amplitud media de todos los estados:

Ahora viene lo increíble: los estados cuyo valor es 0 no cambiarán de amplitud ya que (2μ-α)/√N;=(2*1/-1/)/√N

=1/√N sin embargo, nuestro estado con amplitud negativa adquirirá una nueva amplitud positiva (2*1-(-1))/√N=3/√N

¡Con solo 2 puertas hemos multiplicado la amplitud de probabilidad del estado por 3!

Si realizamos estos 2 últimos pasos del orden de √N veces conseguiremos algo que realmente parece ciencia ficción:

hemos conseguido "amplificar" la amplitud del bit de información que buscamos hasta casi 1 de forma que cuando

realizamos la medición obtendremos casi con un 100% de probabilidades el valor buscado. ¿Como puede ser esto

posible? En la siguiente figura se puede apreciar con más claridad que es lo que realmente ha sucedido:

En el paso 1 tenemos una función de onda que forma un ángulo α con el eje perpendicular al estado Xo que queremos

encontrar. En el paso 2 la puerta Uf (Of en el dibujo anterior) hace una reflexión respecto al eje anterior. Finalmente, en el

paso 3 se realiza una reflexión respecto a ψ y obtenemos un aumento neto de α del triple del valor inicial.

Repitiendo estos pasos conseguimos que el estado se acerque el valor 1 lo suficiente como que para al medirlo la proyección

sobre el eje x0 sea un 1 con una altísima probabilidad. ¡Hemos conseguido amplificar la probabilidad del valor buscado

como si se tratase de un amplificador de señal de una radio! ¿No es esto increíble?

Conclusiones: computando los bits de la realidad

El manejo y la manipulación de la información cuántica no solo nos permitirá en un futuro realizar ciertos cálculos mucho más

rápido que cualquier computador clásico sino que también nos permitirá simular sistemas cuánticos y estudiar la complejidad

computacional cuántica. La complejidad computacional se puede definir como el algoritmo cuántico con la menor cantidad

de puertas lógicas que es necesario para simular cierto sistema cuántico. Recientes trabajos han encontrado, dentro del marco

de la dualidad ADS/CFT, una fascinante relación entre la complejidad computacional y cierta propiedad del espacio-tiempo:

la complejidad computacional en un sistema CFT es proporcional a la acción en una cierta región del espacio-tiempo en ADS.

¿Estaríamos pues computando los "bits de la realidad" en nuestro computador cuántico?

 

Fuentes: Quantum Computation. Lecture 04: Grover´s Algorithm, Algoritmo de Grover, On the relation between

Quantum Computational Speed Up and Retrocausality; Complexity Equals Action

 

 

 

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Autor: IIII
12/30/2016
IIII