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06-08-2012

CUANDO LA SIMETRÍA SE ROMPE

Si miramos a nuestro alrededor vemos simetría por todos los lados: las mesas, los edificios, las hojas de los árboles,

las personas...parece claro que la simetría es una propiedad muy común. Es evidente que la naturaleza utiliza la simetría.

Por ejemplo, la simetría bilateral "izquierda-derecha" está presente en la mayoría de los seres vivos, esto es así porque

para estos no hay distinción entre la derecha y la izquierda mientras que sí la hay entre "arriba y abajo": los organismos

terrestres no pueden volar, y los organismos acuáticos y las aves necesitan diferenciar arriba y abajo por motivos de

cambios de presión, gravedad, temperatura, etc.

Existe incluso una profunda relación entre belleza y simetría ya que nuestro cerebro asocia simetría con belleza, algo

simétrico es bello mientras que algo asimétrico nos parece feo y extraño.

 

Los edificios asimétricos nos parecen feos y extraños. Cuando vemos un cuadro torcido nos entran ganas de ponerlo derecho.

¿Cuanto tiempo podrías conversar con el hombre de las gafas torcidas sin pedirle que se las ponga "en posición simétrica"?

La simetría se puede definir como aquello que no cambia cuando modificamos algo en el objeto. Las simetrías más

obvias son los cambios en el espacio-tiempo ordinario: traslaciones, rotaciones, reflexiones... sin embargo, existen

otras simetrías incluso más importantes que son menos obvias y más abstractas. Estudiando todas estas simetrías

nos daremos cuenta de algo increíble: la simetría es una de las propiedades más profundas y más fundamentales

del Universo en el que vivimos y por tanto de las leyes físicas que lo gobiernan.

CUANDO LA SIMETRÍA SE ROMPE

A menudo, sucede que los sistemas perfectamente simétricos son inestables, es decir, basta una pequeña

modificación o perturbación en el entorno para que la simetría perfecta se rompa. Este proceso se denomina

ruptura espontánea de la simetría y aunque no lo parezca es un proceso muy común en la naturaleza. El ejemplo

más conocido es la transición del agua de un estado a otro, sin embargo, hay otros muchos ejemplos menos

conocidos tanto en el mundo cotidiano (clásico) como en el mundo de las partículas elementales (cuántico), a

continuación explicamos 3 ejemplos de ruptura espontánea de la simetría:

Árboles en el bosque

Imaginemos que paseamos por un bosque una mañana de primavera, al observar los troncos de los árboles

apreciamos los dibujos de las cortezas: son aproximadamente lineas verticales equidistantes en las que a veces

se incrusta alguna forma aproximadamente elíptica. La forma cilíndrica del árbol tiene 3 simetrías: simetría rotacional

(la forma no cambia si se gira), simetría traslacional (no cambia al trasladarla a lo largo de su eje central) y simetría de

reflexión respecto a un plano vertical y respecto a un plano horizontal. Es de esperar que los dibujos de la corteza

mantengan esas simetrías como así sucede: las lineas verticales mantienen (aproximadamente) las 3 simetrías. Sin

embargo, si nos fijamos atentamente, también existen algunos árboles en los que el dibujo de la corteza tiene forma

de espiral.

Esto se puede explicar en términos de ruptura de la simetría: la espiral mantiene la simetría de rotación si efectuamos

primero una rotación y luego una traslación, es decir, la simetría está rota. De esta forma se aprecia que la espiral es la

forma geométrica natural que surge de la ruptura de la simetría de un cilindro y que es la forma que cabe esperar cuando

la simetría cilíndrica inicial es inestable y se rompe por cualquier perturbación exterior.

Flujo de Couette-Taylor

En este ejemplo tenemos 2 cilindros de distinto tamaño uno dentro de otro. El cilindro exterior es fijo mientras que el

cilindro interior gira a una velocidad que aumenta constantemente. La parte entre el cilindro exterior e interior se

rellena con un líquido. A continuación podemos ver lo que sucede según aumenta la velocidad del cilindro interior:

En este proceso se pueden observar 4 fases claramente diferenciadas:

Fase1: Flujo de Couette        Fase2: Vórtices de Taylor           Fase 3: Vórtices ondulantes      Fase 4: Vórtices turbulentos

Aunque parezca increíble la formación de estos patrones debidos al movimiento rotatorio del líquido se pueden explicar en

términos de simetrías y de ruptura de la simetría. Lo primero es analizar las simetrías del aparato:

1º) Simetría rotacional respecto a su eje: si giramos el aparato con respecto a su eje todo permanece invariante.

2º) Reflexión respecto a un espejo horizontal: el aparato posee simetría arriba-abajo (pero no posee simetría izquierda-

derecha, ya que si ponemos un espejo vertical veríamos que la imagen gira al revés)

3º) Simetría de traslación vertical: el aparato no cambia ante desplazamientos verticales (para nuestro propósito podemos

imaginar que el cilindro es muy largo y podemos ignorar los bordes).

A continuación vamos a tratar de explicar las distintas fases que vimos anteriormente solamente en términos de simetría y

de su ruptura:

Fase 1: Flujo de Couette:  En esta fase en la que la velocidad del cilindro es baja la simetría es total, se mantienen todas

las simetrías del aparato y por eso no vemos ningún patrón o pauta en el movimiento del fluido.

Fase 2: Vórtices de Taylor: En esta fase, el aumento de velocidad del cilindro rompe la simetría de traslación vertical,

el aparato ya no permanece invariante si lo trasladamos verticalmente aunque mantiene cierto grado de simetría aún: si lo

desplazamos exactamente la distancia entre 2 vórtices (no puede ser solo la distancia entre 1 vórtice ya que entre vórtices

consecutivos el líquido fluye en sentido contrario) la simetría se mantiene. Decimos que se ha producido una ruptura de la

simetría de traslación vertical. Las otras simetrías del aparato se mantienen.

Fase 3: Vórtices ondulantes: Ahora, además de la simetría de traslación se rompen la simetría de rotación y la de reflexión.

Sin embargo, como en el caso anterior estas simetrías no se rompen totalmente: si giramos el aparato un ángulo igual al

"periodo" de la "onda" de la nueva pauta que se ha formado entonces todo permanece inalterado. Por otro lado si

efectuamos una reflexión vertical la "onda" siempre cambiará (donde antes había un valle ahora habrá un pico y viceversa)

sin embargo, si efectuamos una rotación y luego una traslación entonces la simetría se mantiene. Decimos que el grupo de

simetrías de rotación, traslación y reflexión se ha roto pero se mantiene la simetría rotación x traslación.

Fase 4: Vórtices turbulentos de Taylor: Aunque a primera vista parezca que se ha restaurado la simetría de traslación,

en realidad, en esta etapa todas las simetrías iniciales del aparato están rotas y el flujo fluye de forma (aunque aún se puede

encontrar cierto orden incluso dentro del caos).

Evidentemente para hacer cálculos cuantitativos hay que utilizar las matemáticas, en este caso las ecuaciones de Navier-

Stokes. Los cálculos y simulaciones numéricas confirman lo obtenido en este análisis basado en la simetría.

Simetría de un campo cuántico

Un campo cuántico puede considerarse como un campo de energía clásico (como el campo electromagnético) pero

con la diferencia de que está cuantizado, es decir, a cada punto del espacio-tiempo se le asigna un valor numérico,

un valor discreto. Las "vibraciones" de estos campos dan lugar a lo que conocemos como partículas elementales:

electrón, fotón, etc. El siguiente potencial describe un campo cuántico escalar:

V(x,y)= -1/2µ2(x2+y2)+1/4ß2(x2+y2)2

Esto dibujado gráficamente se corresponde con la siguiente conocida imagen del "sombrero mejicano":

Como vemos este potencial tiene una simetría rotacional y una simetría de reflexión respecto a un espejo vertical que

pasa por el origen. El punto (0,0) es el centro de la simetría pero es un punto inestable puesto que no es el punto de

mínimo potencial. Los puntos de mínimo potencial (puntos del vacío) son los que forman la circunferencia inferior.

Todo campo tenderá de forma natural a situarse en el punto de potencial mínimo, por ello, es de esperar que el campo

"caerá" de forma natural desde el punto (0,0) a un punto situado en el mínimo de potencial, es decir, cualquier punto

del círculo x2+y222. Supongamos por ejemplo que el campo "cae" al punto (0,µ/ß). Ahora tenemos que nuestro

origen de coordenadas está en el punto (0,µ/ß) en lugar del (0,0). Si observamos ahora la gráfica del potencial

vemos que la simetría de rotación y la de reflexión se han roto:

Este es otro proceso de ruptura espontánea de la simetría. Si hacemos el cambio de coordenadas con el nuevo origen

tenemos: x pasa a ser £, y pasa a ser Ø+µ/ß, sustituyendo estos valores en la expresión del potencial tenemos:

V(£,Ø)= -1/2µ22+(Ø+µ/ß)2)+1/4ß22+(Ø+µ/ß)2)2= µ2Ø2 + 0£2 + (términos de 3º y 4º orden).

Los coeficientes de los nuevos campos Ø y £ representan la masa de los mismos, por tanto lo que ha sucedido al

romperse la simetría es que el campo inicial se ha transformado en un campo Ø con masa µ y un campo £ con

masa 0 es decir ¡sin masa! Esto es algo que sucede siempre en todos los sistemas físicos: siempre que se rompe

la simetría de un sistema cuántico aparece un campo escalar sin masa (llamado bosón de Goldstone). Sin embargo,

los campos sin masa no existen en la vida real así que ¿que significado físico tiene el campo £? Debemos darnos cuenta

de que cuando hemos hecho el proceso de ruptura espontánea de simetría desplazando el origen desde (0,0) a (0,µ/ß)

hemos desplazado todos los puntos del campo a la vez INSTANTÁNEAMENTE, sin embargo, esto esta prohibido por

la relatividad. Si en lugar de esto lo que hacemos es realizar la transformación localmente, es decir, teniendo en cuenta el

desplazamiento a través del espacio tiempo (esto se denomina técnicamente una transformación Gauge) ocurre algo

espectacular: el campo £ sin masa ¡gana masa de repente! El mecanismo por el que el campo sin masa adquiere masa

se denomina mecanismo de Higgs. Recientemente, el 04-07-2012 el LHC anunció oficialmente el descubrimiento de la

partícula de Higgs.

Para terminar hay que señalar que este proceso que hemos descrito de realizar una transformación local (una transformación

gauge) aplicada sobre distintas simetrías da lugar a las distintas fuerzas fundamentales de la naturaleza. Por ejemplo

si exigimos que un campo cuántico tenga una simetría rotacional (llamada simetría U(1)) y exigimos que esta simetría sea

local (gauge) entonces entonces surge de forma natural un campo potencial cuya fuerza de repulsión o de atracción solo

depende de la distancia: el potencial electromagnético. De forma similar podemos obtener las otras fuerzas fundamentales

de la naturaleza: la fuerza nuclear débil y la nuclear fuerte. ¡ Las fuerzas fundamentales existen para preservar las

simetrías fundamentales del Universo !

 

Fuentes: ¿Es Dios un geómetra? Ian Stewart y Martin Golubitsky 1995, A Simple Introduction to Particle Physics

Matthew B. Robinson, Karen R. Bland, Gerald B. Cleaver, and Jay R. Dittmann. Department of Physics,

 

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Autor: IIII
6/8/2012
IIII
Autor: hector04 email: (hector_denis@yahoo.com)
9/8/2012
Respecto a la simetría rotacional U(1) que mencionas podríamos decir que que esa simetría rotacional implica que distintos observadores midan el mismo angulo siempre, ¿que forma geométrica rotacional se obtiene de eso? porque si es así estas describiendo el espin creo.
Autor: planck
9/8/2012
Hector, la simetría U(1)implica que el sistema en cuestión no cambia si lo giras respecto a un plano (2D). En este caso el potencial es simétrico si lo giramos cualquier ángulo contenido en el plano x-y (izquierda-derecha) pero si subimos o bajamos ya no se conserva la simetría. El spin está descrito por la simetría SU(2) que implica el giro de una esfera pero con un periodo de 720º en lugar de 360º (es decir el sentido del giro se invierte al dar una vuelta y vuelve a su estado inicial cada 2 vueltas). Proximamente escribiré un post sobre el spin, que desde luego es algo "muy raro", es decir es completamente ajeno a nuestro sentido común. Gracias por tu pregunta, un saludo.