SIMETRÍAS INTERNAS Y FUERZAS FUNDAMENTALES
El teorema de Noether es considerado por muchos como uno de los más profundos y "bellos" de las
matemáticas ya que establece un vínculo claro y explícito entre el mundo un tanto abstracto de las simetrías
matemáticas y el mundo físico real en el que vivimos. Este teorema afirma que toda simetría está ligada a
una magnitud física que se conserva y viceversa. La importancia de este teorema es enorme aunque no se
aprecie a primera vista. Todo el mundo sabe que en cualquier sistema físico la energía, la cantidad de
movimiento y el momento angular son magnitudes que se conservan en ausencia de fuerzas exteriores,
pues bien, según el teorema de Noether, detrás de estas magnitudes conservadas tiene que existir una simetría
fundamental. En este caso, las simetrías implicadas son simetrías conocidas y "comunes"del espacio-tiempo: la
simetría temporal (que implica la conservación de la energía), la simetría de traslación (que implica la conservación
de la cantidad de movimiento) y la simetría de rotación (que implica la conservación del momento angular).
Además de estas simetrías conocidas e intuitivas que implican traslaciones o rotaciones en el espacio-tiempo
ordinario existen otras simetrías un poco más abstractas y más complicadas de visualizar. Una parte importante
de éstas se conocen como simetrías internas o simetrías gauge que explican nada menos que las fuerzas fundamentales
de la naturaleza a través de las magnitudes físicas conservadas. A continuación trataré de explicar de la forma más
sencilla posible como estas simetrías explican las fuerzas fundamentales del Universo:
Fuerza electromagnética
Simetría responsable: Simetría gauge U(1). Magnitud conservada: Carga eléctrica.
Para intentar visualizar lo que es una simetría interna vamos a imaginar que a cada punto del espacio-tiempo ordinario
le asignamos un "espacio interno". Este espacio interno funcionaría como una dimensión extra, un grado de libertad
nuevo que las partículas microscópicas "sienten" y en el que pueden "moverse" ademas de las 3 dimensiones espaciales
y la dimensión temporal ordinaria. Este espacio extra es un espacio matemático, no físico y puede ser un círculo (2
dimensiones), una esfera (3 dimensiones) una hiperesfera (4 dimensiones) o algo más complicado todavía. En el caso
del electromagnetismo este espacio interno es un círculo. Podemos visualizar entonces que las partículas están definidas
por su posición en el espacio-tiempo más un valor extra que es el valor que ocupan en el espacio interno y que en este
caso es un valor entre 0º y 360º. Bien pues resulta que es posible cambiar este valor del espacio interno en una cierta
cantidad en todos los puntos del espacio-tiempo de forma que las leyes físicas que definen a la partícula NO CAMBIEN.
Es decir, si imagino el valor del espacio interno como una aguja de reloj, es posible (matemáticamente hablando) girar la
aguja un determinado ángulo fijo en todos los puntos del espacio-tiempo de forma que, para cualquier observador exterior
la partícula no experimente cambio alguno en ninguna magnitud física. Esto es a lo que se llama una SIMETRÍA INTERNA
o SIMETRÍA GAUGE. La magnitud conservada, asociada a esta simetría es en este caso la carga eléctrica. Existe una
rama de las matemáticas que estudia las simetrías de los objetos y se denomina teoría de grupos, las simetrías de cada objeto
se incorporan en lo que se denomina un grupo, pues bien, las simetrías de un círculo se incorporan en lo que se llama
grupo U(1), por eso a esta simetría interna se la denomina SIMETRÍA GAUGE U(1).
Sin embargo, existe un problema, como sabemos por la relatividad, cada observador exterior, dependiendo de su estado
de movimiento, medirá un valor distinto de determinadas magnitudes físicas, además, cada observador puede fijar el punto
de referencia del espacio interno en cualquier ángulo del círculo (las 12, las 4 y media o cualquier "hora" del reloj) por lo
que a la hora de realizar la transformación gauge en todos los puntos del espacio-tiempo los observadores exteriores no
se pondrían de acuerdo sobre que valor concreto tiene cada magnitud física y cada flecha del espacio interno. Para
solucionar esto hay que "sincronizar los relojes", es decir, aplicar un criterio para comparar las distintas medidas que
pueden encontrar los distintos observadores de forma que las leyes físicas no cambien. Pues bien, resulta que cuando
realizamos esto en las ecuaciones que describen a las partículas fundamentales ocurre algo increíble, aparece una fuerza
cuya magnitud solo depende de la distancia entre las partículas: la fuerza electromagnética. Toda fuerza tiene asociada una
"partícula portadora", estas partículas "mensajeras" de las fuerzas fundamentales se llaman bosones y en este caso es el
fotón. Por esto al fotón se le denomina boson gauge de la fuerza electromagnética.
Las partículas sin carga eléctrica no "ven" este espacio interno y por esto no "sienten" la fuerza electromagnética. De todo
esto se concluye que la conservación de la carga eléctrica y la fuerza electromagnética son consecuencia de una simetría
interna.
Fuerza débil
Simetría responsable: Simetría gauge SU(2). Magnitud conservada: Carga de sabor.
En este caso el espacio interno esta definido por el grupo de simetría SU(2). Este grupo describe los procesos de
simetría generados por la rotación de una esfera en un espacio complejo. Este espacio es equivalente al giro de una
hiperesfera (una esfera en 4 dimensiones) en el espacio euclideo habitual (nuestro espacio real). Para hacernos una
idea visual de como sería este espacio interno podemos imaginar el giro de una esfera habitual pero con una
condición: la esfera cambia el sentido de giro al girar 360º y vuelve a su estado inicial solo al girar 2 veces (720º).
Desde luego esta propiedad no se puede encontrar en el espacio 3D habitual, recordemos que los espacios internos
no pueden considerarse espacios físicos habituales, son espacios matemáticos.
Al igual que en el caso anterior, si imaginamos una aguja que señala a algún punto de esta "hiperesfera", podemos
realizar una transformación gauge de manera que las leyes físicas no se vean afectadas. La magnitud conservada se
denomina carga de sabor y la fuerza resultante es la fuerza nuclear débil. Esta fuerza es la responsable de ciertos
procesos de desintegración radiactiva, por ejemplo la radiación beta en la que un neutrón se transforma en un protón
radiando un electrón y un antineutrino. Esta fuerza es transportada por los bosones gauge llamados W y Z.
A través de la fuerza débil los quarks que forman los protones y los neutrones del núcleo atómico cambian de sabor.
Por ejemplo, en la desintegración beta el quark u del neutrón se transforma en un quark d dando lugar a un protón. Los
quarks con sabor + deben transformarse en quarks con sabor - y viceversa. La fuerza débil también afecta a los
leptones, por este proceso el electrón, el muón y el tau se transforman en sus correspondientes neutrinos.
Fuerza fuerte
Simetría responsable: Simetría gauge SU(3). Magnitud conservada: Carga de color.
Este espacio no se puede visualizar como los anteriores ya que el grupo SU(3) es el grupo de simetría de el equivalente
a una esfera girando en 8 dimensiones. La magnitud conservada se denomina carga de color y la fuerza resultante es la
fuerza nuclear fuerte. Esta fuerza es la responsable de mantener unidos en el núcleo a los protones y los neutrones. La fuerza
se transmite (solo a distancias muy cortas) por los bosones gauge llamados gluones. Esta fuerza resulta en una atracción
entre los quarks de distinto color (existen 3 colores), si nos fijamos en la figura anterior observamos que los protones
y los neutrones están formados por un quark de cada color mientras que los mesones se componen de 2 quarks de colores
diferentes.
El modelo estándar es la teoría más completa que tenemos sobre las interacciones entre partículas elementales. Como
éste abarca las 3 interacciones anteriores se basa en el grupo de simetría SU(3)xSU(2)xU(1). Es importante destacar
que la gravedad no forma parte del modelo estándar, ya que aún no se ha conseguido una descripción satisfactoria
de la gravedad cuántica. Sin embargo hay que destacar que la Relatividad General se basa también en criterios de
simetría, concretamente en la simetría Lorentz y en la no existencia de sistemas de referencia privilegiados. De hecho,
se puede concluir que la gravedad existe para que las leyes físicas sean LAS MISMAS para TODOS los observadores,
independientemente de su estado de movimiento. Desde este punto de vista, se puede concluir algo trascendental: las 4
fuerzas fundamentales existen para asegurar que las leyes fundamentales de la física se cumplen en cualquier
sistema de referencia y para cualquier observador, es decir, existen para preservar los criterios de simetría
más fundamentales.
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