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16-12-2015

VIAJE AL INTERIOR DE LOS AGUJEROS NEGROS

En este artículo vamos a realizar el viaje más increíble y fascinante que un viajero espacial podría realizar en

nuestro Universo: un viaje al interior de los agujeros negros. En este viaje descubriremos fenómenos que desafían

la capacidad de visualización del cerebro humano y descubriremos algunas características increíbles sobre el

comportamiento del espacio y del tiempo. Además comprenderemos porque estos "monstruos" esconden en su

interior los secretos más profundos de la naturaleza del espacio-tiempo.

El viaje será largo ya que visitaremos varios tipos de agujeros negros y exigirá entender unos mínimos conceptos

sobre relatividad general que se explicarán de forma sencilla , sin embargo, aseguro al lector que después de

completarlo, la concepción del espacio y del tiempo que probablemente tenía cambiará para siempre.

La métrica y las distancias "timelike" y "spacelike"

Antes de comenzar nuestro apasionante viaje tenemos que explicar brevemente varios conceptos importantes.

La métrica mide las distancias entre dos puntos tanto en el espacio-tiempo plano como en espacio-tiempo curvo.

En espacios planos la distancia entre 2 puntos P(x1,x2,x3) y Q(x2,y2,z2) se obtiene aplicando el teorema de

Pitágoras en 3 dimensiones: |PQ|2=(x2-x1)2+(y2-y2)2+(z2-z1)2, si tomamos distancias muy pequeñas o sea

diferenciales e incluimos el tiempo tenemos que la métrica plana es simplemente: ds2=-c2dt2+dx2+dy2+dz2.

Expresando la métrica en coordenadas polares tenemos ds2=-dt2+dr2+dØ2+dÔ2 donde r2=x2+y2+z2

Dada una métrica ds2=-dt2+dr2+dØ2+dÔ2 siempre podemos considerar trayectorias radiales, es decir,

trayectorias en las que los ángulos Ø y Ô son constantes y por tanto su derivada es nula. En estas trayectorias

tenemos que la métrica es simplemente: ds2=dt2-dr2. En estas trayectorias tenemos las siguientes posibilidades:

- Si la coordenada dr2 es menor que la coordenada dt2 entonces el espacio "se mueve" mas lento que el tiempo,

es decir, la luz puede viajar en ese intervalo de tiempo desde el punto A al punto B por lo que hay conexión

causal entre ambos puntos. Decimos que este intervalo es Timelike.

- Si la coordenada dt2 es igual que la coordenada dr2 entonces tenemos la trayectoria de un rayo de luz,

el espacio "se mueve" a la velocidad de la luz. A estos intervalos se los denomina Lightlike.

- Si la coordenada dr2 es mayor que la coordenada dt2 entonces el espacio considerado es mayor de lo que la

luz puede recorrer en el tiempo dado, (el espacio "se mueve" más rápido que el tiempo) y por tanto no hay

conexión causal entre A y B. Este intervalo se denomina Spacelike.

La solución esférica de Schwarzschild

Consideremos un cuerpo masivo de masa M perfectamente esférico y estático en el vacío. ¿Que forma tiene el

espacio-tiempo alrededor de este cuerpo masivo según las ecuaciones de la relatividad general? En 1916 el Físico

Karl Schwarzschild encontró la primera solución exacta a las ecuaciones de Einstein. Más tarde se demostraría que

esta solución es la única con simetría esférica en el vacío lo que significa que esta solución es una respuesta genérica

de la relatividad general. El resultado obtenido por Schwarzschild es el siguiente:

M es la masa del objeto y r define la distancia radial desde el centro de la masa esférica, por tanto r=0 corresponde

al centro de la masa y para r tendiendo a infinito recuperamos la métrica de un espacio-tiempo plano. Se observa

claramente que para r=0 y para r=2GM la métrica tiende a infinito, es decir, la curvatura se hace infinita, lo que nos

indica que (aparentemente) tenemos 2 singularidades. Como esta solución es válida solo en el vacío, sus resultados

se mantienen siempre que estemos fuera de la masa que crea la gravedad lo cual sucede evidentemente cuando

estudiamos cualquier cuerpo estelar "normal", sin embargo, existe un caso especial: los agujeros negros. ¿Que

ocurre si el radio de la masa esférica es menor que 2GM?

Atravesando el horizonte de sucesos del agujero negro de Schwarzschild

Si la masa M está concentrada en un radio r<2GM entonces sucede algo increíble. Para verlo consideremos un

rayo de luz (intervalo lightlike, s2=0) que viaja radialmente hacia el centro de un cuerpo cuyo radio es menor de

2GM :

por tanto tenemos que:

Esta expresión nos dice como varía el tiempo cuando variamos el espacio. Según nos aproximamos a r=2GM el

tiempo tiende a infinito, lo cual quiere decir que para un observador exterior el rayo de luz nunca alcanza ese

punto ya que tardaría un tiempo infinito en alcanzarlo. En realidad, la singularidad en el punto 2GM es un artificio,

debido al sistema de coordenadas que hemos elegido, como veremos, si medimos el tiempo propio del rayo de

luz que cae, este atraviesa el punto 2GM sin ningún problema. Pero, entonces, ¿no pasa nada al atravesar el punto

2GM? En realidad, lo que sucede en este punto es extraordinario: la coordenada temporal pasa de ser timelike

a spacelike y la coordenada espacial pasa de ser spacelike a timelike, es decir, ¡es como si se invirtiesen el

espacio y el tiempo! Es como si al atravesar el punto 2GM el espacio pasase a comportarse como el tiempo ya

que éste "fluye" irremediablemente en una única dirección: hacia la singularidad. Esto quiere decir que aunque

viajásemos a la velocidad de la luz intentando escapar del agujero lo único que conseguiríamos sería minimizar

nuestro envejecimiento durante el trayecto irreversible hacia la singularidad. El espacio mismo "se mueve" hacia

la singularidad. ¡ Atravesar el horizonte de sucesos es como entrar en otro Universo con otro espacio-tiempo !

Pero, ¿cual es la forma del espacio tiempo dentro del agujero negro? Para saberlo debemos hacer un cambio de

coordenadas en las que se verá claro que la singularidad en el horizonte de sucesos no es real. Para ello

utilizamos las llamadas coordenadas de Kruskal:

La métrica quedaría entonces como:

En estas coordanadas podemos "visualizar" todo el espacio-tiempo que define la solución de Schwarzschild

incluyendo la coordenada r=2GM y su interior. El espacio-tiempo sería de esta forma:

¿Pero que significa esto? El espacio-tiempo de la solución de Schwarzschild realmente representa a dos

agujeros negros simétricos unidos por una estrecha garganta denominada Agujero de Gusano. En este

espacio-tiempo se pueden diferenciar 4 regiones diferentes:

La región I representa el exterior de nuestro agujero negro. La región II representa el interior, dentro de

esta región el espacio "se mueve" irreversiblemente hacia la singularidad. Todas las trayectorias acaban en

la singularidad en el futuro. Utilizando el tiempo propio del observador el viaje dura un tiempo finito, puesto

que el tiempo propio esta maximizado en las geodésicas, una nave que cae dentro de un agujero negro

vivirá más tiempo si para sus motores y se deja llevar por el "espacio-tiempo". La región III es igual que

la II pero con el tiempo "al revés", es decir, todas las trayectorias se alejan de la singularidad y ésta queda

en el pasado. Esto constituiría un agujero blanco: un agujero que expulsa todo lo que hay en su interior.

La región IV es la zona exterior de la zona III, es decir, del agujero blanco. Ambas zonas estarían unidas

por un agujero de gusano, pero este agujero se cerraría mucho mas rápidamente de lo que un rayo de luz

tardaría en atravesarlo, así que, sería imposible viajar desde la zona II a la zona III. Además, los agujeros

negros reales formados del colapso de estrellas masivas poseen carga eléctrica y momento angular por lo

que la solución del vacío de Schwarzschild es solo aproximada. Se cree que en estos agujeros reales el

agujero negro "dual" (el agujero blanco) no existe. Pero, ¿que sucede si consideramos agujeros negros

más reales con carga eléctrica en su interior? La respuesta es sorprendente.

Agujeros negros cargados eléctricamente

Los agujeros negros se pueden describir con solo 3 parámetros: la masa, la carga y el momento angular.

Para un agujero negro esférico de masa M y de carga q la solución a las ecuaciones de Einstein viene

dada por la métrica conocida como métrica de Reissner-Nordstrom:

Esta solución tiene dos singularidades "aparentes": r+ y r-. De hecho estos puntos se comportan como 2

horizontes de sucesos. En el primer horizonte r+ la coordenada r pasa de ser spacelike a timelike como

en la solución de Schwarzschild, por tanto, cualquier objeto se verá arrastrado hacia la singularidad. Sin

embargo, al alcanzar el segundo horizonte r- la coordenada r volverá a ser spacelike y el "arrastre" cesará.

En ese punto un observador puede decidir si seguir hasta la singularidad (no recomendado) o moverse en

dirección de incrementar r de nuevo. Si se decide por esta última posibilidad al alcanzar de nuevo el

horizonte r+ emergerá al resto del Universo como si saliese por un agujero blanco. Si decide volver al

agujero negro este entrará en un agujero negro distinto al inicial. Pero ¿esto es realidad o ciencia

ficción? Nadie sabe hasta que punto esto es real, probablemente solo una parte ya que el colapso

estelar real es un proceso complejo en el que la simetría esférica no se cumple. Para finalizar,

consideraremos los agujeros negros más realistas: los agujeros con carga eléctrica y rotación.

Agujeros negros cargados eléctricamente y con momento angular

Esta solución es la más compleja y la que más tardó en encontrarse ya que la simetría esférica se ve

alterada por la rotación. La solución viene dada por la métrica de Kerr:

En el caso más real en el que la rotación "a" no es demasiado grande, tenemos 2 horizontes igual que

en el caso anterior r+ y r- que se comportan de forma muy similar a la que vimos antes, sin embargo,

hay 2 diferencias bastante impresionantes:

1ª) Antes de llegar al primer horizonte r+ tenemos una nueva frontera en la que la coordenada r ya

es timelike: el horizonte de Killing. La zona entre el horizonte de Killing y r+ se denomina hergosfera.

Cualquier objeto que esté en esta zona tiene que moverse en la dirección de rotación del agujero negro

ya que este "arrastra" el espacio-tiempo al rotar y, aunque parezca increíble, si arrojáramos un objeto

desde esta zona al interior del agujero y luego saliésemos al exterior ¡ tendríamos más energía que

cuando entramos ! (contando el momento aportado al objeto). Esto es posible porque hemos

" robado" energía de la rotación del agujero. Este proceso se llama proceso de Penrose.

2º) La singularidad central no está concentrada en un punto sino que tiene forma de anillo. De hecho, ¡ un

observador podría pasar por el centro del anillo ! ¿Que sucedería entonces? Los cálculos desarrollados

por una técnica matemática denominada continuación analítica indican que ¡ el observador emergería en

un espacio-tiempo de otro agujero negro de Kerr diferente!

Conclusiones

Estos casos de agujeros negros son soluciones exactas e ideales de las ecuaciones de la relatividad general.

Los agujeros negros conocidos hasta la fecha se producen por colapso gravitatorio de estrellas masivas en

las que se rompe la simetría esférica. Este hecho junto con propiedades cuánticas no incluidas en estas

ecuaciones probablemente cambiarán la forma real del espacio tiempo dentro del agujero. Sin embargo, estas

soluciones son aproximaciones de la realidad que sirven para estudiar como se comporta el espacio-tiempo en

densidades de materia extremas. Si incorporamos los efectos cuánticos, los estudios de estas soluciones ideales

están permitiendo estudiar ciertas propiedades de la gravedad cuántica (el santo grial de la Física). Por ejemplo,

en 2012 los físicos Leonard Susskind y Juan Maldacena desarrollaron una conjetura que parece de ciencia

ficción: Todas las partículas entrelazadas cuánticamente están unidas por un agujero de gusano. Esta conjetura

se denomina "ER=EPR" y será objeto de otro artículo. Lo que este artículo deja claro es que el espacio-tiempo

que nos rodea dista mucho de ser ese marco estático y rígido en el que los acontecimientos del Universo tienen

lugar y que en condiciones de masa-energía extremas el espacio y el tiempo se fusionan en una entidad

4-dimensional dinámica que se "retuerce" según cambian las condiciones locales de la masa-energía.

 

 

Fuentes: Lecture Notes on General Relativity. Sean M. Carrol. Pg 164.

 

 

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Autor: IIII
12/16/2015
IIII
Autor: Ricardo
7/17/2017
Hola es un articulo super interesante y buenísimo que muestras las ecuaciones soy matemático y me pareció un muy buen articulo saludos
Autor: planck
7/17/2017
Muchas gracias Ricardo. Un saludo.