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27-03-2017

TODO FLUYE A LA VELOCIDAD DE LA LUZ

Cierre los ojos y relájese cómodamente en su sofá o en su cama. Permanezca así durante 30 segundos y abra de

nuevo los ojos. ¿No ha sentido nada especial? Probablemente no. Sin embargo, aunque usted no se haya dado

cuenta ha realizado (sigue realizando) un viaje trepidante: ¡Usted ha viajado en el tiempo! ¡Ha viajado 30 segundos

en la dimensión temporal sin salir de casa! Usted no se ha dado cuenta porque solo podemos ver las 3 dimensiones

espaciales, sin embargo, el Universo que habitamos es un mundo de 4 dimensiones.

Cuando la Física moderna habla de la posible existencia de nuevas dimensiones del espacio-tiempo es muy usual sentir

una sensación de rechazo y de incredulidad ya que nosotros solo podemos ver directamente 3 dimensiones. Sin embargo,

nuestro Universo real en el que nos encontramos ya tiene una nueva dimensión "oculta": la dimensión temporal. Las 3

dimensiones espaciales parecen dominarlo todo y son omnipresentes, por el contrario, la 4ª dimensión es extraña: no parece

una dimensión más y fluye de forma inexorable del presente al futuro. A pesar de ello, Einstein y Minkowski demostraron hace

más de 100 años que nuestro espacio-tiempo es en realidad una estructura indivisible de 4 dimensiones. En este artículo

visualizaremos la 4ª dimensión con conceptos sencillos y accesibles a cualquier persona con mínimos conocimientos Físicos,

esto nos permitirá explicar de forma más natural fenómenos "extraños" como el spin y la naturaleza del tiempo.

Además veremos como este "objeto" 4 dimensional junto con los 2 sencillos principios en los que se basó Einstein nos

conducen a un Universo extraño y fascinante: el Universo real que habitamos.

El espacio-tiempo plano de Minkowski

Einstein se basó en 2 sencillos principios que son los siguientes:

1º) Las leyes de la Física deben ser las mismas en cualquier sistema de referencia que se mueva a velocidad constante.

2º) Todo observador, independientemente de su estado de movimiento medirá la misma velocidad de la luz: c.

El segundo principio ya implica algo sorprendente, puesto que un observador que se mueva a por ejemplo 3/4c tiene

que medir siempre la velocidad c y v=x/t esto implica que el espacio y el tiempo no pueden ser absolutos, estos tienen

que cambiar para observadores que se mueven a velocidades diferentes. Esto se entiende mejor con esta figura:

Consideremos dos sistemas de referencia S y S´. S está en reposo con respecto a S´ que se mueve a velocidad v con

respecto a S. Consideremos que en el instante inicial ambos sistemas coinciden y en ese instante se emite un pulso

de luz que se expande en todas direcciones formando una esfera. Lo que nos dice el 2º postulado es que ambos

observadores deben medir la misma velocidad en la esfera de luz, es decir, el radio de la esfera debe ser el mismo

para ambos observadores. La ecuación de la esfera en el sistema de referencia S es: X2+Y2+Z2=(ct)2 ya que el radio

de la esfera es ct. Antes de seguir debemos notar algo muy interesante de esta expresión: todo observador de este Universo,

esté en reposo, se mueva a 3/4c o a -1/2c está "embebido" en una esfera de radio ct. Esto nos da la primera pista sobre el

origen del título de este artículo: todo observador puede considerarse como dentro de una esfera que viaja a c en 4 dimensiones.

Como S y S' deben tener el mismo radio tenemos que X2+Y2+Z2-(ct)2=X'2+Y'2+Z'2-(ct)2'. Como S´se mueve solamente

en el eje x tenemos que x'= x-vt mientras que y=y´y z=z. Sustituyendo y desarrollando los cuadrados obtenemos:

Ahora observamos que el nuevo término indeseable al desarrollar los cuadrados impide la igualdad. ¿Cual sería la transformación

correcta para que la igualdad se cumpla? Está claro que hay que modificar x´y t´ de alguna forma: x´=a1x+a2t, y´=b1x+b2y. La

clave es encontrar los coeficientes a1,a2,b1,b2. Visto desde S, S´es un punto que se mueve a velocidad v es decir x=vt, como en

en instante inicial x=x´=0 entonces tenemos que x´=a1x+a2t=0, por tanto x=-a2/a1t=vt por tanto a2/a1=-v. Sustituyendo en nuestra

ecuación anterior obtenemos que x´=a1(x-vt). Desarrollando los cuadrados e igualando términos obtenemos:

Esto supone una de las revoluciones más grandes de la historia de la humanidad: el espacio y el tiempo no son absolutos, dependen

del sistema de referencia. Sin embargo, como veremos, el "objeto" espacio-tiempo, considerado como un objeto 4-dimensional si

es absoluto e inmutable.

Visualizando la entidad de 4 dimensiones

Consideremos que el eje x es la dimensión espacial y el eje y la dimensión temporal. Un intervalo de espacio-tiempo vendrá

definido como:

Si ahora tenemos un segundo sistema de referencia S´que se mueve a velocidad relativa v´ respecto al anterior sistema tenemos:

El segundo sistema ha recorrido una distancia mayor que el anterior en el mismo tiempo t por tanto t´ aparecerá desplazado respecto

a t. Para encontrar el segundo eje del segundo sistema de referencia S´consideramos la trayectoria de un rayo de luz que rebota en

un espejo visto en el sistema de referencia S':

Para obtener la perspectiva de S´ dibujamos el eje ct' que obtuvimos anteriormente, prolongamos el eje hacia abajo y realizamos las

intersecciones con este eje de los rayos de luz:

 

Lo que ha sucedido en S´es que los ejes han experimentado un giro, cuanto más se acerque a la velocidad a c mas se juntarán los ejes.

Esto implica que sucesos que son simultáneos en un sistema de referencia no lo son en otro. Esto se ve claramente en esta figura:

En el sistema de referencia S los eventos E1 y E2 se producen en el mismo lugar (x=0) y en distintos instantes de tiempo.

En el sistema de referencia S´los eventos E1 y E2 se producen en distintos lugares y distintos tiempos, además se puede

apreciar que el intervalo espacial se acorta y el intervalo temporal se alarga en el sistema de referencia S´

Ahora es cuando podemos visualizar la cuarta dimensión en todo su esplendor: consideremos 2 naves espaciales que viajan a

grandes velocidades (mayores que 1/2c) en dirección contraria y que se cruzan en una determinada región del espacio-tiempo,

llamaremos a esta región el intervalo A-B. ¿Que es lo que verán/medirán los pilotos de las naves espaciales al cruzarse? Verán

lo siguiente:

                                  

Las "sombras" del objeto 4D proyectadas en los ejes 3D: el segmento 4D A-B producirá una "sombra" sobre

los ejes de mayor o menor longitud dependiendo del "ángulo de enfoque". Esa proyección es la que medimos

en nuestros experimentos Físicos ya que solo podemos percibir 3 de las 4 dimensiones del espacio-tiempo.

El intervalo A-B es la longitud espacio-temporal "real" invariante, lo que mediría cualquier observador en reposo en la nave.

El piloto en el sistema S medirá que la nave contraria tiene la longitud de la linea verde sobre el eje x y medirá el tiempo

correspondiente a la linea verde sobre el eje ct. El piloto del sistema S´medirá la longitud de la linea azul sobre el eje x´y el

tiempo de linea azul sobre el eje ct´. La clave aquí es la siguiente: ¡el intervalo real, el intervalo AB 4-dimensional es

absoluto, no varía! El intervalo AB 4 dimensional puede puede tener mayor o menor componente espacial o temporal

pero su magnitud total en 4 dimensiones no varía. De alguna forma, lo que estamos viendo es la proyección desde

distintos ángulos (en función del estado de movimiento) del mismo objeto 4-dimensional. ¡ Lo que vemos son

las "sombras" tridimensionales de un objeto cuatridimensional !

Las partículas y las leyes fundamentales del Universo

Los 2 simples postulados anteriores tienen consecuencias de un alcance absolutamente impresionante, hasta el punto de que dictan

como deben ser las leyes fundamentales de nuestro Universo. Analicemos el primer postulado: todas las leyes Físicas deben ser las

mismas en cualquier sistema de referencia, sin embargo, ya vimos que tanto el espacio como el tiempo varían de un observador a

otro así que ¿Cuales son las leyes Físicas que deben permanecer invariantes? Ya hemos visto una de ellas: el intervalo en 4 dimensiones.

Para saber cuales son los demás invariantes debemos utilizar la simetría. Como Noether demostró, toda simetría global posee una cantidad

que se conserva: un invariante. La simetría espacial produce como consecuencia la conservación del momento lineal, la simetría temporal

la conservación de la energía y la simetría de rotación la conservación del momento angular.

La simetría que deja invariante el intervalo 4 dimensional se denomina simetría de Poincaré. Esta incluye la simetría Lorentz y las traslaciones.

La simetría de Poincaré implica la conservación de dos magnitudes: M2 y W2. M es la masa invariante (la masa en reposo) de la partícula y

W es el momento total, es decir, la suma del momento lineal P y el momento angular J. La conservación de W explica uno de los fenómenos

más misteriosos de la Física de partículas: el Spin. Imaginar una partícula de masa M en reposo. Todos los observadores deben observar las

mismas leyes Físicas, es decir, el mismo valor de M2 y W2. W se compone de dos magnitudes P y J. Como P=0 entonces W=J. Todos los

observadores deben observar el mismo valor de J. Pero ahora aparece un problema: consideremos un observador en un sistema de referencia

que gira con velocidad angular constante alrededor de la partícula ¡Este observador verá a la partícula girando mientras que un observador

en reposo junto a la partícula no observará ningún giro! La única forma de solucionar esto es que ¡la partícula en reposo gire también!

¡ Este giro intrínseco es el Spin !

                                   

Un observador en un sistema de referencia que gira alrededor de la partícula          La partícula debe girar para que todos los observadores

verá a esta girando mientras que un observador en reposo la verá parada.                perciban las mismas leyes de la Física

Esto esta prohibido por la relatividad y la simetría Lorentz-Poincaré.

Pero hacer que la partícula gire crea otro problema: el sentido de giro establece una dirección privilegiada: imaginar que vamos en un coche y que nos

movemos a la misma velocidad que un electrón que se mueve a lo largo del eje x. Si vamos "detrás" de el veremos que el electrón gira en un sentido

determinado:

Sin embargo si adelantamos al electrón (cambiamos el sistema de referencia de izquierda a derecha, como en un espejo) ¡Veríamos que la

partícula gira en sentido contrario¡ ¡ Pero esto no está permitido, todos los observadores deben medir el mismo valor del Spin !

¿Como se puede solucionar esto? Para que las leyes fundamentales no cambien al cambiar el sistema de referencia es necesario "desdoblar"

la partícula. El electrón posee dos componentes quirales que forman parte del spin: el componente de quiralidad "Left" y el componente de quiralidad

"Right". Estos componentes constituyen los llamados "Spinors" de Dirac y son parte fundamental de la Ecuación Cuántica Relativista de Dirac.

Cuando vamos "detrás" del electrón "veremos" la componente "Left" del mismo, al adelantar al electrón "veremos" la componente de quiralidad opuesta

que tiene la misma dirección de Spin. De esta forma seguiremos viendo que el Spin (que es la magnitud invariante o conservada) no cambia, el

sentido de giro es el mismo. ¡Por esto existen las partículas quirales! ¡La naturaleza "ha desdoblado" las partículas para cumplir con el primer postulado

de la relatividad!

Todo fluye a la velocidad de la luz

Hemos visto que el espacio se puede "transformar" en tiempo y viceversa de forma que siempre se mantenga la misma magnitud de espacio-tiempo. Como sabemos

que el momento lineal es el producto de la masa por la velocidad debemos esperar que también se mantenga invariante la magnitud de momento en 4 dimensiones.

Efectivamente el momento 4D es un invariante y se representa como P=(Po,Px,Py,Pz)=(Mc,Px,Py,Pz)=(E,Pxc,Pyc,Pzc). De la misma forma que con el espacio-tiempo,

el "momento espacial" se puede transformar en "momento temporal" y viceversa pero siempre conservando la misma magnitud 4D. Si nos fijamos en el vector 4-momento,

el momento en la dimensión temporal Po se calcula multiplicando la masa en reposo por la velocidad de la luz. ¡Esto implica que puede considerarse a un cuerpo en reposo

como una masa que viaja a c en la dimensión temporal! Si aumentamos la velocidad (el momento) de dicho cuerpo, el vector 4-momento tendrá una componente temporal

menor y una componente espacial mayor. El fotón que viaja a c constituye el otro extremo: las componentes temporales son nulas y solo hay componente espacial.

Por esto, podemos considerar que en nuestro espacio-tiempo 4-D ¡ TODO FLUYE A LA VELOCIDAD DE LA LUZ !

 

Fuentes: Derivation of the Lorentz transformations from first principles, Teoría de la relatividad, Grupos de Lie, Grupo de Poincaré

 

 

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Comentarios enviados:
Autor: IIII
3/27/2017
IIII
Autor: Julián
3/29/2017
¿Cuál es la unidad fundamental del espacio-tiempo?
Autor: planck
3/29/2017
Julian el intervalo invariante de espacio-tiempo se mide en metros S=(ct,x,y,z) por eso se multiplica la componente temporal por c para tener los 4 componentes en las mismas unidades. Sin embargo, hay que tener en cuenta que el espacio-tiempo no es una magnitud Física (como lo son la temperatura, la presión,etc) sino que es el marco en el que los fenomenos físicos tienen lugar.
Autor: Sergio
3/29/2017
Planck, sería más correcto decir que se mide en m^4?
Autor: planck
3/29/2017
Sergio, en ese caso seria un Volumen espacio-temporal
Autor: Kiko
3/29/2017
Gracias
Autor: javier email: (jvrbotas@gmail.com)
3/29/2017
No se ni como he llegado a tu articulo. No he leído nada tuyo ni te conozco y me ha parecido excelente.
Autor: César email: (hdez_cesar@hotmail.com )
3/30/2017
Gracias por el artículo. Me quedo con ganas de más. Enhorabuena
Autor: planck
3/30/2017
Muchas gracias Javier y Cesar. En la sección "Las leyes fundamentales del Universo" de mi web podéis encontrar artículos sobre Física fundamental que OS pueden resultar interesantes. Un saludo.
Autor: nug
3/30/2017
En la explicación del spin, un observador que gire en torno a la partícula ya no sería un observador inercial, porque estaría somerido a una aceleración, por lo que no es válido como ejemplo. El spin es algo bastante dificil de explicar. Más que ver con un giro, se puede entender como una propiedad intrínseca de la partícula, como la masa.
Autor: planck
3/30/2017
Muy buena observación Nug. Como dices, a priori, no valdría como ejemplo de la relatividad especial,sin embargo, es válido como ejemplo dentro de la explicación que tiene en cuenta los grupos de simetría: El grupo de Poincaré tiene dos invariantes: m^2 y w^2 y estos deben conservarse en cualquier marco de referencia, hay que tener en cuenta que una partícula es "Un elemento de la representación irreductible del grupo de Poincaré". Por otro lado, como bien dices el spin es bastante más complicado que un simple giro (la explicación del artículo es una simplificación), el spin es un fenómeno cuántico, sin embargo, la idea general sigue siendo válida: todos los observadores deben medir las mismas leyes de la Física. Un saludo.
Autor: Xavier email: (xgirones1@lhotmail.com)
3/30/2017
Buenas tardes, me encanta la divulgacion cientifica, y por ello me ha atraido el titulo y encabezado del link. Pero me equivoque. Lo facil es explicar de forma compleja cosas complejas, lo dificil es explicar de forma facil cosas complejas. Cuando he visto lo de tenemos un sistema s y uno s prima, ya he intuido que ibamos mal, pero luego, a pesar de los dibujitos creo que no ha estado afortunado si queria explicar a "personas con un minimo de conocimientos fisicos". Evidentemente yo no soy capaz de hacerlo y por tanto no lo critico, solo doy fe de ello (Con Sagan se murieron muchas cosas). He aplicado el mismo sistema que aplico para saber si la salida de un parquing esta bien señalizada, me desago de mi intuición y conocimientos y sólo aplicó la regla de seguir gobernando tontamente las señales. Normalmente es un desastre. Con su artículo he hecho lo mismo pero con una cerveza y una hamburguesa y leído en la barra entre ketchup y mostaza. De todas formas, gracias de verdad por el intento. Por cierto, soy doctor ingeniero en inteligencia artificial y físico de afición, lo que me presupone una mínima base técnica. Saludos. Xavier
Autor: Nug
3/30/2017
Sólo era una observación. El artículo me parece que podría ser más claro (o más extenso) en algunos puntos, sobre todo en la explicación de la visualización de la entidad en 4D. Sea dicho sin desmerecer que me parece que has abordado, de forma valiente, una idea clave para entender la relatividad, que muchos autores no tocan (o no se atreven), y que en la facultad pocas veces enseñan. Para Xabier: Entiendo que tu ingeniería es informática. Es ese caso, te recomiendo adquirir un poco de base en mecánica teórica y relatividad especial.
Autor: planck
3/31/2017
Gracias Nug por tu comentario. Es cierto que (como en cualquier breve artículo de divulgación) hay partes que quedan demasiado breves o simplificadas. De todas formas, como parece que el artículo ha gustado voy a empezar a escribir la segunda parte, esta vez teniendo en cuenta la gravedad. A ver si puedo tenerlo para finales de la semana próxima...
Autor: planck
3/31/2017
Xabier, los detalles y los cálculos Matemáticos pueden ser complicados pero las ideas principales son sencillas. El concepto de simetría es una de las claves fundamentales del Universo que habitamos. Si te interesa el tema te recomiendo leas los primeros capítulos del enlace "Teoría de la relatividad" al final del artículo. Un saludo.