INICIO

29-05-2018

DOMANDO LA VELOCIDAD DE LUZ

Toda la materia conocida está formada por partículas denominadas fermiones (electrones y quarks).

A escala macroscópica nosotros vemos cuerpos sólidos bien definidos, sin embargo, a la escala

natural en la que "viven" estas partículas el mundo es completamente diferente, hasta el punto que

parece increíble que de ese mundo extraño y cambiante pueda surgir nuestro mundo cotidiano.

En este artículo nos centraremos en el fermión más famoso de todos: el electrón. El electrón nos

mostrará sus grados internos de libertad en los que parece moverse a la velocidad de la luz, múltiples

caras, extraños comportamientos "superpuestos", estados entrelazados y una especie de extraño giro

que no tiene ninguna similitud con nada de lo que conocemos en nuestro mundo macroscópico. Además

el electrón porta una información "oculta" adicional distinta de de las magnitudes físicas "usuales".

¡ Bienvenidos al extraño mundo de las partículas fundamentales !

Domando la velocidad de la luz: la masa del electrón

El fotón, que viaja a la velocidad de la luz, se mueve siempre en linea recta en una de las dimensiones

espaciales. Desde este punto de vista podemos decir que el fotón "siente" solo una dimensión (1)

El fotón debe moverse en linea recta (flecha gris) a velocidad c que es la máxima velocidad permitida por lo

que no puede tener ninguna componente de giro en la dirección de movimiento, si la tuviera, la velocidad

total sería superior a c (lo que sucedería en la flecha roja del dibujo).

Consideremos las ecuaciones de dos ondas planas que se desplazan a la velocidad de la luz en

direcciones opuestas, una hacia la derecha y otra hacia la izquierda:

El primer término representa la energía y el segundo el momento de la onda. Si pasamos el segundo

término a la derecha las ecuaciones nos dicen que toda la energía de la onda se concentra en el

momento debido al desplazamiento de la onda hacia la derecha (caso 1) o hacia la izquierda (caso 2).

Si elevamos cualquiera de estas ecuaciones al cuadrado conseguimos unificar ambas ecuaciones en una:

El problema con la ecuación anterior es que ni es cuántica ni es relativista. El primer problema se

soluciona simplemente sustituyendo las expresiones de E y p por los equivalentes operadores

cuánticos: E=ihd/dt y p=-ihd/dx y el segundo aplicando la expresión relativista de la energía y el

momento: E2=m2c4+c2p2. Al sustituir los dos operadores en esta última expresión obtenemos:

Aunque a primera vista no lo parezca esta última expresión supone un cambio de gran trascendencia.

Anteriormente toda la energía de la onda estaba concentrada en el momento de la misma, ahora

ha surgido un nuevo término que también posee energía: la masa de la partícula. ¡Hemos dotado a

la onda de masa! Además, transformando nuestra onda clásica en una onda cuántica-relativista hemos

conseguido algo asombroso, hemos acoplado las dos ondas que viajan en sentido contrario: esta última

ecuación posee dos soluciones que representan el movimiento de dos ondas que viajan a c en sentido

contrario y que se comportan como si estuvieran "mezcladas" o mejor dicho superpuestas. La función

de onda ya no es una onda "individual" es una "mezcla" de dos ondas.

Pero, ¿que interpretación física debemos dar a la ecuación "superpuesta" anterior? Para hacernos

una idea intuitiva (clásica) podemos considerar el siguiente sistema de muelles y masas acoplados:

En este sistema la bola se mueve hacia la derecha (o hacia la izquierda) como si fuera una onda, pero,

debido a los muelles verticales la "onda" se va frenando, se para, e invierte su movimiento desplazándose

en sentido contrario y repitiéndose el ciclo una y otra vez. Los muelles horizontales juegan el papel de

acoplamiento entre las dos ondas y los verticales representan un nuevo grado de libertad: la masa.

Acoplando ambas ondas ¡ el conjunto acoplado ha adquirido masa !

La masa representa un nuevo grado de libertad que no tienen las partículas sin masa que viajan a la

velocidad de la luz. Ahora el sistema si puede girar en el sentido del desplazamiento: los dos componentes

quirales se "reflejan" o "giran" transformándose el uno en el otro, ese continuo "reflejo" o "giro" entre los

componentes quirales determina una dirección en el espacio-tiempo, esta dirección es el spin (2). De esta

forma, mediante la ecuación cuántica-relativista hemos conseguido "domar" la velocidad de la luz y dotar

a la partícula de masa (3)

El continuo "reflejo" de las ondas acopladas

La ecuación "superpuesta" anterior (denominada ecuación de Klein-Gordon) tiene dos soluciones: ei(Et+px)

y e-i(Et-px). Estas soluciones representan una fusión, o mejor dicho, una superposición de dos ondas que

se mueven en el plano complejo: la parte real de una de ellas "se refleja" y se convierte en la parte imaginaria

de la otra y viceversa. Este "reflejo" o "giro" continuo puede verse más claramente en el siguiente esquema (4):

Es ahora cuando empezamos a apreciar la intrincada relación entre el mundo Físico y el mundo de las

Matemáticas: las dos ondas acopladas se mueven en un espacio matemático complejo. La aparición

de los números complejos es otra forma de representar números "superpuestos", dos números

complejos representan en realidad 4 números: 2 reales y 2 imaginarios.

Hay otra forma de expresar esta fusión de 2 expresiones, y es utilizar, en lugar de solo 2 números

una "caja" con 4 números. Esta "caja" con 4 números se denomina matriz de 2x2:

Esta expresión matemática es equivalente a nuestra 1ª ecuación "superpuesta". En esta se aprecia con mayor claridad

la "mezcla" o "superposición" de los valores tanto en la función de onda como en la energía y en el momento de la onda.

Para calcular la verdadera velocidad de la partícula (el electrón) debemos aplicar el operador velocidad

teniendo en cuenta que este actúa sobre la función de onda y los componentes quirales de la partícula. De

esta forma obtenemos la velocidad del conjunto completo (la velocidad real del electrón):

El misterioso "giro" de las partículas que forman la materia

A continuación las cosas se ponen aún más extrañas e interesantes: vamos a girar nuestro electrón 180º. Esto se

puede realizar en los experimentos ya que el spin es en realidad el momento magnético del electrón por lo que

podemos modificar el momento aplicando un campo magnético externo. Vamos a ver lo que sucede:

1º) Giro de 180º

Si realizamos el giro invirtiendo el sentido de movimiento del electrón (girando 180º la dirección del spin) obtenemos

que el sentido de giro del electrón se ha invertido y por tanto pasamos de un electrón con spin up a uno con spin down

(o viceversa). Si a continuación realizamos experimentos de interferencia de estos electrones con electrones sin girar

¡ambos electrones no interactúan! Si en lugar de invertir el sentido de movimiento del electrón lo que hacemos es

girar el electrón manteniendo inalterado su sentido de movimiento (su dirección de spin) ¡ obtenemos el mismo efecto !

                                                          

   Al girar el electrón 180º invertimos su sentido de giro y su movimiento y por tanto también su dirección de spin

2º Giro de 360º

Ahora nos topamos con el efecto más antiintuitivo y paradójico: si giramos el electrón 360º evidentemente esperaríamos

obtener el electrón original, sin embargo, cuando lo hacemos y realizamos experimentos de interferencia con electrones

sin girar lo que tenemos es que ¡ ambos electrones interfieren negativamente !

3º Giro de 720º

Si giramos nuestro electrón original 2 vueltas completas entonces ¡obtenemos nuestro electrón inicial! Es decir, es necesario

un giro de 720º para restaurar las propiedades originales de nuestra partícula. ¡ El mundo del electrón es muy diferente al

nuestro! Por si todo esto no fuera lo suficientemente "extraño" el electrón tiene la notable propiedad de detectar cualquier ángulo

de giro en cualquiera de los ejes con respecto a su ángulo original (en este artículo nos hemos limitado por sencillez a solo 2

dimensiones pero los resultados son equivalentes en 4 dimensiones). Este ángulo se denomina la fase del spin del electrón. Esto

nos enseña otra propiedad fascinante sobre el electrón y sobre los leptones en general, estos portan más información que un

simple vector tridimensional (magnitud y dirección), portan también otra información adicional: el ángulo de fase del spin.

Conclusiones

La relatividad exige que todos los observadores, independientemente de su estado de movimiento, deben medir las mismas

magnitudes físicas fundamentales (invariantes relativistas). Para que esto sea posible la naturaleza ha de "desdoblar" el electrón

en dos componentes quirales y "crear" una especie de giro que produce un momento magnético intrínseco (el spin). Por otro

lado la mecánica cuántica implica la existencia de una función de onda que contiene todos los posibles resultados de la medida

(spin up y spin down en el caso del spin). Al acoplar las dos componentes quirales se produce una interferencia entre ellas

que suprime su propagación en el cono de luz. De esta forma la función de onda permanece localizada fuera del cono de luz

(en el contexto del principio holográfico diriamos que permanece en el "bulk" que posee una dimensión adicional) moviéndose

a velocidades menores que c. Desde el punto de vista cuántico, el electrón es en realidad una perturbación del campo cuántico

electrónico, dicha perturbación es entonces una superposición cuántica de todos los valores posibles "oscilando" continuamente

de forma que todos los observadores midan los mismos invariantes relativistas.

Sin duda la naturaleza es absolutamente sorprendente.

Notas

(1) El fotón posee en realidad 2 grados de libertad que están compuestos por sus 2 diferentes polarizaciones. Estas

polarizaciones son siempre ortogonales al sentido de movimiento por lo que nunca se excede la velocidad de la luz.

(2) El spin, junto con todas las demás propiedades del electrón tratadas en este artículo son características cuánticas sin

análogo clásicos por lo que cualquier analogía clásica es solo una aproximación.

(3) En el proceso cuántico en el que se genera la masa del electrón interviene también el campo de Higgs el cual "mezcla"

ambas componentes quirales.

(4) El electrón es una partícula fundamental que no puede descomponerse en componentes más elementales. El hecho de que

el electrón "oscile" entre sus dos componentes quirales no significa que este constituido por elementos más fundamentales.

PD 31-05-2017: En respuesta a las preguntas de Jarenito en los comentarios he añadido una figura aclaratoria:

Las dos componentes quirales se "reflejan" o "giran" perpendicularmente a la dirección de movimiento que coincide con

la dirección del spin global de la partícula (flecha gris).

Fuentes: The relativistic Dirac equation

 

 

ENVIA OPINIONES O COMENTARIOS SOBRE ESTE ARTÍCULO

Tu nombre:
Tu E-Mail: (opcional)
Pregunta antispam: ¿de que color es el caballo blanco de Santiago?
Mensaje:
        Comentarios enviados:
Autor: IIII
5/29/2018
IIII
Autor: Jarenito
5/30/2018
Hola. Antes de nada, la página es una pasada. Me encanta cómo divulgas. Tengo varias dudas, si no puedes/quieres responder en un comentario, puedes poner algún enlace dónde lo aclaren (en inglés también me vale). 1) No me queda claro qué significa o qué tengo que ver en el cuadro del esquema donde debería ver el "reflejo" o "giro". La verdad es que estoy muy confuso con ese esquema. 2) En la parte dónde giras la partícula (180º, 360º...) me gustaría que me aclaras lo que significa o quieres decir con que no interactúan en experimentos de interferencia (lo de la doble rendija) y qué significa que interfieran negativamente. Tampoco me queda claro cuando en esa parte dices "invertir el sentido de movimiento" y más adelante "girar el electrón manteniendo inalterado su sentido de movimiento". La verdad es que no acabo de verlo. Porque si lo anterior se refiere a la doble rendija, no pillo como se hace para invertir el movimiento y que siga yendo hacia el experimento... Seguramente me esté liando. 3) ¿El ángulo de fase del espín es el ángulo del spin respecto a la dirección del movimiento? 4) ¿La helicidad no tiene que ver con todo esto? Muchas gracias.
Autor: planck
5/31/2018
Gracias por tus palabras Jarenito me alegra que te guste la web. Trato de responder a tus preguntas: 1) El esquema representa la oscilación de las 2 ondas complejas en el tiempo: las partes reales e imaginarias se intercambian continuamente (se que esto es difícil de visualizar) 2) Las dos componentes quirales se "reflejan" perpendicularmente a la dirección de movimiento del electrón (he puesto un dibujo al final del artículo para tratar de aclararlo) por tanto la dirección del spin apunta en la dirección del movimiento.Por esto, girar la partícula 180º (como el reflejo de la imagen en un espejo) equivale a invertir el spin. La imagen del electrón como una "bolita" es engañosa, es mejor visualizarlo como una "función de onda": imagina una onda como un sacacorchos, al girar el sacacorchos 180º en una de las ondas he desplazado una distancia la hélice del sacacorchos de forma que los "valles" y las "crestas" de ambas ondas no coinciden y ambas ondas no interfieren (del mismo modo que la luz polarizada verticalmente y la horizontalmente no interfieren). Al girar el sacacorchos 360º la cresta de una onda coincide con el valle de la otra y ambas se anulan produciendose una "interferencia destructiva" o "interferencia negativa". Para restablecer la posición original del sacacorchos hay que girarlo 720º (algo similar a lo que sucede en una banda de Moebius 3) El ángulo de fase del spin es la diferencia "la interferencia" en la fase de ambas ondas complejas (recuerda que un número complejo se representa por un módulo y un ángulo (la fase) 4) Correcto, el electrón está formado por ambas quiralidades "left" y "right" te recomiendo el siguiente artículo de esta misma web: “La derecha, la izquierda y el verdadero origen de la masa”. También puedes consultar el texto que enlazo en las fuentes donde todo esto está bastante bien explicado. Espero que mi explicación te haya servido. Un saludo.