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02-08-2019

EL MOVIMIENTO IMPARABLE DEL ESPACIO-TIEMPO

Uno de los cambios conceptuales más grandes de la historia de la humanidad es el descubrimiento de que

el espacio no es ese "escenario" fijo e inmutable donde suceden las cosas sino que, junto con el tiempo,

puede "estirarse" o "comprimirse" como si fuera una goma elástica. Otra característica de esa estructura

4-dimensional que llamamos espacio-tiempo es que puede efectuar un "movimiento rotatorio" lo que da

lugar a una serie de fenómenos físicos fascinantes. En este artículo haremos un viaje a uno de los lugares

más extraños y desconocidos del Universo, un lugar donde todo fluye sin descanso, donde el reposo es

imposible, donde el propio espacio-tiempo gira sin parar arrastrando todo a su paso.

Distancias espaciales y distancias temporales

Lo primero que debemos recordar es que nuestro Universo tiene 4 dimensiones: 3 dimensiones espaciales

y 1 dimensión temporal, por tanto. para medir la distancia entre dos eventos A y B necesitamos especificar

4 coordenadas. Para entender detalladamente como se miden distancias en el espacio-tiempo vamos a

separar las distancias espaciales y las temporales:

Distancias espaciales y la métrica Euclidea

En espacios planos la distancia entre 2 puntos P(x1,x2,x3) y Q(x2,y2,z2) se obtiene aplicando el teorema de

Pitágoras en 3 dimensiones: |PQ|=(x2-x1)2+(y2-y2)2+(z2-z1)2, si tomamos distancias muy pequeñas o sea

diferenciales tenemos que la métrica plana es simplemente: ds2=+dx2+dy2+dz2.

Distancias espacio-temporales y la métrica de Minkosky

A la anterior forma de medir distancias le faltan dos ingredientes fundamentales: la dimensión temporal y tener en

cuenta el límite absoluto de la velocidad de la luz. La relatividad especial nos dice que da igual a la velocidad a la

que nos movamos, todos los observadores medirán siempre la misma velocidad de la luz c. Esto quiere decir que

si emitimos un pulso de luz en el instante t0 este pulso de luz se alejará de nosotros a velocidad c recorriendo una

distancia ct independientemente de si nos quedamos en reposo o si aceleramos hacia el intentando alcanzarlo. Por

tanto cualquier observador se comportará como si estuviese en el centro de una esfera de radio ct:

Tanto en el sistema de referencia en reposo S como en el sistema en movimiento S' la esfera de luz se aleja

a velocidad ct. Por tanto todo observador se sentirá en el centro de una esfera de radio ct.

Esto implica que en cualquier sistema de referencia la distancia (la métrica) S coincide con la ecuación de una esfera:

X2+Y2+Z2=(ct)2 Por tanto la distancia 4-dimensional relativista se mide como: ds2= dX2+dY2+dZ2-d(ct)2

Ahora debemos darnos cuenta de algo fundamental: la dimensión temporal contribuye a la distancia con signo negativo.

Como todos los cuerpos se mueven a velocidad menor o igual a c la métrica siempre sera negativa o nula. Si la métrica

es positiva quiere decir que los eventos medidos están fuera del círculo es decir fuera del cono de luz (no hay causalidad).

La idea fundamental de todo esto es la siguiente: las dimensiones espaciales, por las que podemos movernos libremente

son las que poseen en la métrica signo positivo, las dimensiones temporales, que fluyen inexorablemente en una sola

dirección son las que tienen en la métrica el signo negativo.

La métrica de Kerr

La gran mayoría de los agujeros negros reales, formados a partir del colapso estelar, son agujeros negros rotatorios

también denominados agujeros negros de Kerr. La métrica de un agujero negro en rotación es la siguiente:

donde los denominadores vienen dados por:

Esta fórmula puede parecer intimidatoria pero, como veremos, podemos escoger solo los parámetros que necesitamos y explicar

paso a paso su significado para conseguir una imagen general de lo que realmente significa un agujero negro en rotación.

Los parámetros de la métrica de Kerr son:

- Las cuatro coordenadas del espacio-tiempo en coordenadas polares: t= tiempo r=distancia radial theta=ángulo polar fi=ángulo azimutal:

- Magnitudes físicas y constantes: G=constante de Newton M=masa del agujero negro a=constante que mide la velocidad de rotación del agujero negro

Lo primero que vamos a hacer es encontrar los puntos donde la métrica diverge, para ello simplemente buscamos los valores de r para los

que el denominador (delta o rho) tiende a cero. Los valores de r para los que delta se anula se obtienen resolviendo la ecuación de segundo grado delta(r):

Los valores para los que rho se anula son:

r=0 y theta=Π/2

Tenemos entonces 2 valores de r para los que la métrica tiende a infinito (ignoraremos los 2 últimos por el momento): r+ y r-. A continuación veremos

que sucede en estos puntos donde las distancias parecen tender a infinito.

Los horizontes r+ y r-: cuando el espacio y el tiempo intercambian sus papeles

Vamos a considerar el movimiento de un cuerpo que avanza solamente en la dimensión radial r. El coeficiente de la métrica dr2 es: rho2/delta(r)

Como vimos anteriormente las raices de delta(r) son r+ y r- lo que quiere decir que la parábola de esta ecuación de segundo grado corta el eje

x=0 en r+ y r-. Esto significa que esta función tiene valores positivos para valores de r mayores de r+ y negativos para valores de r menores

de r+ es decir, el coeficiente de la métrica es positivo como corresponde a una dimensión espacial para valores mayores de r+, pero una vez

traspasado r+ ¡La métrica se vuelve negativa! Algo increíble sucede en este punto: la dimensión espacial r se comporta como una dimensión

temporal. Esto quiere decir que la dimension r por la que antes podríamos movernos libremente ahora fluye irremediablemente hacia adelante

como si fuera una dimensión temporal. ¡ El espacio y el tiempo han intercambiado sus papeles ! Da igual a la velocidad a la que nos movamos,

da igual la dirección que tomemos, la coordenada radial se moverá en la dirección de reducir r (hacia la singularidad). Este es el verdadero motivo

por el que la relatividad general predice la existencia de horizontes de sucesos y por tanto agujeros negros: una vez traspasado r+ nada puede

escapar de nuevo hacia afuera, el movimiento del propio espacio tiempo se lo impide. Por tanto r+ es el horizonte de sucesos del agujero negro

(r- constiyuye un segundo horizonte de sucesos interior).

Ergosfera: un mundo donde no existe el reposo

Ningún objeto físico de este Universo podrá jamás portar información directa sobre el fenómeno que hemos visto en el apartado anterior ya

que una vez traspasado el límite r+ nada puede volver a salir. Sin embargo, en los agujeros negros rotatorios existe otra "extraña" frontera fuera

de r+ una región en la que podemos entrar y volver a salir, una región con propiedades tan extraordinarias o más que el horizonte de sucesos.

Es ahora cuando entramos en uno de los mundos más extraños del Universo: la ergosfera. Hemos visto que al traspasar r+ el coeficiente de la

métrica r pasa de ser positivo a ser negativo. Si analizamos cuando sucede esto en el caso del coeficiente de la métrica temporal, encontramos

algo asombroso: el coeficiente de dt2 es:

La expresión anterior se vuelve positva cuando:

Las raices de la ecuación anterior (los puntos en los que se anula y por tanto donde la parábola corta el eje x=0) son:

GM+-√ (G2M2-a2cos2fi)

Si comparamos este valor con el de la posición del horizonte de sucesos encontramos que ¡el coeficiente de la dimensión temporal se

hace positivo antes de llegar al horizonte r+! Esto significa que apartir de este punto el tiempo se comporta como si fuera una dimensión

espacial. ¿Que quiere decir esto?

                                                      Las cuatro zonas de un agujero negro con rotación

Para ver que sucede cuando traspasamos la zona denominada "horizonte de Killing" y entramos en la ergosfera vamos a analizar la trayectoria

de un fotón que se dirige hacia el agujero negro de forma radial en dirección al plano ecuatorial. Tomamos entonces en la métrica de Kerr

ds2=0 (para un fotón la métrica es nula), fi=Π/2 (plano ecuatorial) y rho=0:

Resolviendo esta expresión obtenemos la ecuación:

En el borde donde empieza la ergosfera el coeficiente dt se anula por tanto dtt=0. Con esto las soluciones a la ecuación anterior son:

Las dos expresiones anteriores nos muestran algo asombroso: justo en el borde de la ergosfera un fotón solo tiene dos opciones:

- Moverse en sentido contrario al giro del agujero (primera expresión). En este caso su velocidad instantanea es nula.

- Moverse en el sentido de giro del agujero (segunda expresión). En este caso su velocidad coincide con la velocidad de

giro del agujero negro. Al entrar en la ergosfera la coordenada temporal ya es positiva por lo que ya nada puede moverse

en sentido contrario al giro del agujero negro. De esto se deduce que ningún cuerpo puede estar en reposo, todos los cuerpos

deben moverse en sentido de giro del agujero ¡El agujero negro está arrastrando el espacio-tiempo al girar!

En la ergosfera la coordenada fi fluye sin descanso hacia adelante y nada puede moverse en sentido contrario, es decir,

la coordenada espacial fi ¡pasa a comportarse como una coordenada temporal! El giro del agujero negro se comporta

como una coordenada que marca el paso del tiempo.

Objetos con energía negativa

En el apartado anterior vimos el primer fenómeno físico extraño dentro de la ergosfera: no existe el reposo dentro de ella.

Ahora veremos otro fenómeno no menos extraño: objetos con energía negativa. En relatividad general la energía de un

cuerpo se mide mediante un objeto matemático llamado tensor. En condiciones "normales" siempre es posible definir un

sistema de referencia inercial (ausente de fuerzas exteriores) donde definir este tensor de energía, sin embargo, en un

agujero negro rotatorio no existe este sistema de referencia inercial (todo está en movimiento rotatorio) por lo que

la usual medida de la energía de un objeto no es válida. Sabemos del teorema de Noether que la energía es la conservación

de una magnitud en el tiempo, sin embargo, como hemos visto la dimensión temporal en la ergosfera pasa de tener signo

negativo a signo positivo lo que habre la puerta a un fenómeno realmente inusual: para un observador en reposo lejos del

agujero negro un objeto en la ergosfera puede tener, en determinadas circuntancias energía negativa. Hay que resaltar

que la energía negativa sería medida por un observador situado muy lejos del agujero y que un objeto con energía negativa

siempre llevará una trayectoria que jamás saldrá del agujero negro por lo que nunca será medida por un observador exterior.

Para conseguir que un objeto tenga energía negativa dentro de la ergosfera debemos aplicarle un momento angular negativo

es decir, el objeto debe girar en sentido contrario al giro del agujero negro (intuitivamente podemos empezar a vislumbrar

porque este objeto posee energía negativa) Imaginemos que a continuación arrojamos este objeto al interior del agujero negro.

Dentro de la ergosfera la velocidad de escape es menor que c ya que estamos fuera del horizonte de sucesos, de hecho hay

trayectorias (geodésicas) en las que existe un punto (denominado punto de retorno) en los que la velocidad se anula permitiendo

al objeto cambiar de dirección y volver a salir al exterior.

Cuando el objeto P1 que hemos arrojado llegue al punto de retorno hacemos que el objeto se divida en dos de forma que el trozo

con energía negativa P2 se dirija hacia el interior y el trozo con energia positiva P3 hacia el exterior. Por el principio de conservación

de la energía tenemos: P1=-P2+P3. Por tanto P3=P1+P2 ¡ El objeto (P3) saldrá del agujero negro con una energía mayor de

la que entró ! Este fenómeno denominado ciclo de Penrose implica que es posible extraer energía de un agujero negro rotatorio,

esta energía procede de la energía de rotación del mismo. Existen cálculos que indican que un porcentaje enorme de la energía

disponible en el Universo se encuentra almacenada en forma de energía rotatoria dentro de los agujeros negros.

Ciclos cerrados de tiempo

En el primer apartado de este artículo vimos que la métrica tiende a infinito en dos casos: delta=0 o rho=0 pero solo analizamos

el primer caso. El segundo caso rho=0 se cumple cuando r=0 y ademas fi=Π/2. Esta condición no se cumple en un solo punto

sino en todos los puntos del "círculo" fi=Π/2 (en realidad es un anillo) ¡La singularidad central no es un punto sino que es un anillo!

Por si esto no fuera ya suficientemente "extraño" las Matemáticas nos dicen que, en principio, es posible pasar a través del anillo

lo que teóricamente haría que accediesemos a un espacio-tiempo diferente dentro de un agujero negro (agujero blanco) diferente.

Hemos reservado para el final el fenómeno quizás mas inusual: el anillo es una superficie "time-like", esto quiere decir que su

trayectoria transcurre por la dimensión temporal (que debido a la enorme curvatura se cierra sobre si misma). Si nos situamos

justo al lado del anillo y realizamos una trayectoria cerrada alrededor del mismo viajaremos a lo largo de la dimensión temporal

por lo que ¡volveríamos de nuevo al punto de partida, volveríamos al pasado! ¡Esto si sería realmente un viaje en el tiempo hacia

el pasado!

Conclusiones y observaciones finales

El espacio-tiempo es una entidad 4 dimensional capaz de comprimirse, estirarse o girar lo que produce fenómenos realmente

increíbles. Hay que tener en cuenta que, en la actualidad, es justo decir que nadie sabe que sucede exactamente cuando traspasamos

el horizonte de sucesos (este artículo está basado exclusivamente en la visión de la relatividad general e ignora los posibles efectos

cuánticos). Como no poseemos una teoría cuántica de la gravedad no podemos aún calcular que sucede cuando hay que tener en cuenta

ambas teorías. De hecho, hay indicios de que en la métrica de Kerr, la zona del espacio-tiempo interior a r- es inestable. A pesar de ello,

los fenómenos descritos en la ergosfera si son, en principio reales (en esta zona podemos ignorar los posible efectos cuánticos) por esto,

podemos decir que la ergosfera es probablemente la zona del Universo accesible más extraña y fascinante que podemos en principio visitar.

 

Fuentes: Geodesic of Kerr metric, The Kerr space time: a brief introduction

 

 

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Autor: IIII
2/8/2019
IIII