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07-08-2017

EL INFINITO MISTERIO OCULTO ENTRE LOS NÚMEROS

La fuerza de Casimir es un efecto relacionado con la energía del vacío que produce una fuerza de atracción

entre dos placas metálicas situadas muy cerca una de la otra. Esta fuerza ha sido verificada experimentalmente

y en el cálculo teórico que predijo la existencia de este efecto aparece la siguiente expresión:

¿Que sentido puede tener una expresión aparentemente tan absurda?

El estudio de las propiedades de los números ha llevado a establecer puentes entre las Matemáticas "puras"

y la Física. Incluso los números más simples y cotidianos de todos, los números naturales, esconden grandes

secretos en su interior. En diversas teorías Físicas fundamentales como en la Física Cuántica o incluso en la

Teoría de Cuerdas aparecen diversas sumas infinitas de números naturales. Aunque parezca increíble, a

nivel fundamental estas sumas infinitas divergentes parecen tener un significado, parecen tener un valor

concreto. Estos valores o "números mágicos" han sido confirmados por diversos experimentos Físicos

como el Efecto Casimir. En este artículo trataremos de desvelar el misterio de estas sumas infinitas y el

porque son tan importantes en el mundo real: el mundo de la Física.

¡Bienvenidos a lo más profundo del infinito!

Series infinitas de números naturales

Comenzaremos mostrando tres sumas infinitas cuyos resultados parecen completamente absurdos:

¿La suma de infinitos unos da un número negativo? ¿La suma de los infinitos números naturales al cuadrado

es cero? ¿Como alguien podría dar alguna lógica a estos resultados a todas luces sin sentido?

Por si esto no fuese suficientemente absurdo las sumas anteriores no parecen ser coherentes entre si: si

sumamos (1) y (2) tendríamos que obtener -1/2-1/12=-7/12, es decir:

pero si quitamos 1 a la segunda suma obtendríamos -1/12-1=-13/12. Es decir, tendríamos que:

Las mismas sumas tienen distinto valor. Por tanto ni siquiera las sumas (1) y (2) parecen consistentes entre si.

Fijémonos en la segunda serie. Esta serie es la suma de los infinitos números naturales. ¿Cuanto vale la

suma de los infinitos números naturales? ¿Como puede siquiera tener sentido una pregunta así?

Ya en 1449 Leonhard Euler aplicó la "magia matemática" para tratar de asignar un valor finito a esta serie infinita:

Consideremos la suma S= 1 + 2 + 3 + 4+ ... a continuación multiplicamos esta suma por 4 para obtener la

suma 4S= 4 + 8 + 12 + 16 + ... seguidamente restamos a la primera suma la segunda para obtener S - 4S= -3S:

   S= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...

  4S=      4+       +8      + 12 + ...

-3S= 1 + (2-4) + 3 + (4-8) + 5 + (6-12) + ... = 1 -2 +3 -4 + 5 -6 +...

Hemos obtenido la misma suma pero con los números pares cambiados de signo, pero además hemos obtenido algo

mucho más impresionante: la suma -3S es convergente (aunque no lo parezca) y por tanto podemos asignar un valor

finito a su suma. Para ver esto, tomamos la función 1/(1+x)2 y la desarrollamos en serie de potencias (serie de Taylor):

1/(1+x)2= 1-2x+3x2-4x3+5x4-, si asignamos a x el valor 1 entonces obtenemos exactamente la serie -3S anterior.

Entonces tenemos que 1/(1+1)2=1/4= -3S, por lo tanto tenemos que S = -1/12.

¡La infinita suma de los números naturales vale -1/12!

El método de Euler fue cuestionado por matemáticos posteriores ya que implicaba sumar y multiplicar series infinitas

como si fueran números, sin embargo, métodos mucho más rigurosos confirman este valor: -1/12.

¿Que puede significar esto?

Visualizando las sumas infinitas

Vamos a visualizar la suma S=1+2+3+... de forma más gráfica e intuitiva. Los primeros valores de la serie son: 1, 3, 6,

10, 15, 21... Todos estos valores se pueden visualizar formando un triángulo equilátero que crece en tamaño:

Crédito: Wikipedia

¡ Esta suma se puede representar como un triángulo equilátero cuyo tamaño aumenta con un factor de escala !

Ahora ya podemos empezar a intuir una característica fundamental de esta serie: el cambio de escala. Si en cada

valor de la suma nos alejáramos una cierta distancia fija encontraríamos que ¡El tamaño del triángulo no varía!

Fijémonos ahora en la primera serie S=1+1+1+... que no es más que una sucesión infinita de unos. Esto se puede

visualizar gráficamente así:

 Crédito: Wikipedia

Tenemos una cantidad infinita de "saltos" escalonados formando una escalera infinita. Podemos ahora hacemos la

pregunta: ¿Existe una manera de "suavizar" la escalera con alguna especie de "función correctora" de forma que en

lugar de saltos abruptos tengamos una pendiente suave? La respuesta es si. Si multiplicamos la suma por una función

de pendiente suave que crezca más lentamente que el valor de la suma y cuyo valor tienda a 1 conseguiremos suavizar

la suma dejando su resultado final inalterado. La función más sencilla que cumple estos requisitos es f (n/N) donde N

es un valor de corte de forma que cuando N tiende a infinito f(n/N) tiende a 1.

Cuando incluimos esta función en la primera suma y desarrollamos en series de Taylor obtenemos lo siguiente:

donde        

Es decir hemos obtenido el término fijo -1/2, y una suma infinita de términos (la integral). ¡El valor fijo -1/2 es el valor

inicial fijo de la serie infinita suavizada! Como veremos la integral se puede considerar un factor de escala.

Podemos representar gráficamente esto de esta forma:

El suavizado puede entenderse como un "limado" de los bordes como si hubiésemos pasado una apisonadora

en un terreno abrupto. Claramente esto no altera la suma total. Crédito: Wikipedia

En el punto x=0, donde la función suavizadora corta el eje y, todos los términos de la sucesión se anulan y solo queda el

término fijo -1/2. ¡ -1/2 es el valor fijo de la sucesión que representa la suma infinita "suavizada" !

Por tanto -1/2 es el valor al que tiende la suma infinita suavizada cuando nos acercamos a x=0.

Podemos hacer lo mismo en la segunda serie S=1+2+3+... solo que ahora los "escalones" no son iguales sino que

aumentan de forma exponencial según x2, por ello, la función "suavizadora" será una parábola (x2). Ahora obtenemos:

Crédito: Wikipedia

¿Adivinan donde corta la función al eje y esta vez? ¡Efectivamente la función corta al eje y en el valor -1/12!

Ahora vemos la justificación de que la integral representa un factor de escala: ahora su valor aumenta como N2.

Evidentemente procediendo de la misma forma pero para una función exponencial basada en x3 obtenemos para

la serie (3) que la función corta el eje y en el valor 0.

Teniendo en cuenta el factor de escala todo cobra sentido y las sumas son ahora completamente consistentes entre si:

si sumamos ahora (4) y (5) teniendo en cuenta la función "suavizadora" y restamos 1 de (5) encontramos ahora que

las sumas ¡son compatibles! y que la inconsistencia que vimos antes era fruto de un desplazamiento de la función

"suavizadora".

La pregunta es ahora: ¿Como se obtiene el factor de escala? ¿Por que todo esto es importante para la Física

fundamental? ¿Por que la naturaleza utiliza estos valores "mágicos"?

Resolviendo el misterio: la simetría conforme

Una simetría es básicamente una forma de reorganizar un sistema de forma que el resultado final deje al sistema

sin cambios con respecto a la configuración original. Si giramos un hexágono 60º con respecto al eje que pasa

por el centro del mismo el hexágono continua inalterado. Existe una simetría denominada simetría conforme que

básicamente consiste en que un sistema permanece inalterado cuando lo observamos a diferentes escalas.

¡Justamente como en el caso que hemos visto de la suma de los infinitos números naturales!

La clave es que la simetría conforme es una característica fundamental de muchos sistemas Físicos. Por ejemplo

juega un papel clave en teoría cuántica de campos, teoría de cuerdas y en sistemas físicos que se encuentran al

borde de una transición de fase. ¡La simetría conforme es una de las simetrías fundamentales de la

naturaleza a escala fundamental!

Esta es la explicación de porque en los sistemas Físicos con simetría conforme podemos asignar un valor finito

a una suma infinita. En términos llanos es como si los valores de la suma fuesen "repeticiones" del mismo valor

visto a diferentes escalas de forma que al sumarlas se anulan permaneciendo solamente el valor fijo de la suma

suavizada.

Los sistemas Físicos con simetría conforme son realmente extraños y contraintuitivos: el concepto de distancia

entre puntos desaparece, no tiene sentido, ya que puntos muy lejanos podrían ser el mismo visto a diferentes

escalas. Esta "desaparición" de la noción de distancia tiene otra consecuencia increíble: el infinito pasa a ser un

punto más y ¡ es alcanzable en tiempo finito ! Estas extrañísimas propiedades de los sistemas conformes se

utilizan por ejemplo para tratar de describir ciertas características de los agujeros negros.

Un apunte final: el misterioso puente entre Matemáticas puras y Física Fundamental continua dando grandes

sorpresas: el factor de escala que aparece en las expresiones (4), (5) y (6) se denomina "Transformada de Mellin"

y juega un papel importante en teoría de números, además, estas tres sumas se pueden construir de forma natural

a través de la llamada función zeta de Riemann dando a esta los valores s=0, s=-1 y s=-2 respectivamente. La

función zeta esconde grandes secretos incluyendo el problema no resuelto más famoso de las Matemáticas y

sus simetrías parecen estar relacionadas con funciones especiales llamadas funciones modulares que tienen un

importante papel en Física fundamental y en Teoría de números actuando como puente entre ambas disciplinas.

Todo esto nos hace pensar que los mismos números parecen formar parte fundamental del mundo Físico que

habitamos. ¿Que nuevas e inesperadas relaciones nos deparará el estudio de los números?

 

Fuentes:  The Euler-Maclaurin formula... , 1+2+3+4+... , 1+1+1+1+...

 

 

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Autor: IIII
7/8/2017
IIII