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06-02-2014

EL SECRETO MEJOR GUARDADO DE LAS MATEMÁTICAS: EL INFINITO VALE -1/12

La relación entre el mundo Físico y el "mundo de las Matemáticas" es enormemente sutil. Las matemáticas nos permiten

acceder a las leyes más profundas del Universo y son la clave del enorme éxito de la Física para describir el mundo que

nos rodea. En este artículo mostraremos esta intrincada relación analizando uno de los conceptos más ajenos al sentido

común pero a la vez más útiles de las matemáticas: el infinito. Para ello utilizaremos la serie infinita: S= 1 + 2 + 3 + 4 +...

Aparentemente, nadie en su sano juicio se atrevería a asignar un valor finito a la infinita suma de los números

naturales: S= 1 + 2 + 3 + 4 +... Sin embargo, el que ha sido uno de los mayores matemáticos de todos los tiempos,

Leonhard Euler, fue capaz, ya en 1749 de asignar un valor finito a esta suma infinita. Este valor es: ¡ -1/12 ! Pero,

¿Como es esto posible? ¿Como puede ser que la suma de infinitos números enteros positivos sea una fracción y que

además tenga un valor negativo? Además, como veremos, la deducción de Euler es enormemente sencilla. En los años

posteriores, cálculos más sofisticados realizados con nuevas herramientas matemáticas arrojaron el mismo resultado.

Hasta hace poco, todo esto no era más que una especie de juego matemático sin más relevancia, sin embargo, en

tiempos recientes, esta suma infinita ha aparecido en varios cálculos de Física de partículas y de Teoría de Cuerdas.

Las predicciones de estos cálculos teóricos se han medido con extraordinaria precisión en los experimentos y el resultado

es increíble: el resultado de las medidas implica que la suma infinita de los números naturales tiene que ser -1/12.

Edward Frenkel, profesor de matemáticas en la Universidad de Berkeley (California) dijo recientemente que

este cálculo es uno de los secretos mejor guardados de la matemática. A continuación veremos porque esto es

así y las pruebas experimentales que sostienen este increíble resultado.

La suma de los infinitos números naturales

Consideremos la suma S= 1 + 2 + 3 + 4+ ... a continuación multiplicamos esta suma por 4 para obtener la suma

4S= 4 + 8 + 12 + 16 + ... seguidamente restamos a la primera suma la segunda para obtener S - 4S= -3S:

   S= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ...

  4S=      4+       +8      + 12 + ...

-3S= 1 + (2-4) + 3 + (4-8) + 5 + (6-12) + ... = 1 -2 +3 -4 + 5 -6 +...

Hemos obtenido la misma suma pero con los números pares cambiados de signo, pero además hemos obtenido algo

mucho más impresionante: la suma -3S es convergente (aunque no lo parezca) y por tanto podemos asignar un valor

finito a su suma. Para ver esto, tomamos la función 1/(1+x)2 y la desarrollamos en serie de potencias (serie de Taylor):

1/(1+x)2= 1-2x+3x2-4x3+5x4-, si asignamos a x el valor 1 entonces obtenemos exactamente la serie -3S anterior.

Entonces tenemos que 1/(1+1)2= -3S, por lo tanto tenemos que S = -1/12.

En este momento deberíamos sentir una suma infinita de perplejidad, incredulidad y asombro. Pasados unos

instantes y después de reflexionar un poco a uno se le queda después de leer esto la impresión de que este cálculo

solo se trata de un truco matemático, una maniobra ingeniosa pero incorrecta puesto que no debe de ser posible

tratar con series divergentes que contienen infinitos números de forma tan alegre. Sin embargo, cálculos más

sofisticados realizados con herramientas matemáticas más modernas como el método del exponencial regulador

o usando la función zeta de Riemann han llegado exactamente al mismo resultado. Además, aunque parezca

increíble, este resultado ha sido constatado experimentalmente en varios experimentos basados en la mecánica

cuántica, como sabemos y constataremos a continuación, el mundo de la Física y el de las Matemáticas están

profundamente entrelazados.

El efecto Casimir y la suma de los infinitos números naturales

Se denomina Efecto Casimir a la minúscula fuerza de atracción que experimentan dos placas metálicas cuando se

las separa una distancia muy pequeña. Este efecto es una predicción de la mecánica cuántica y recientemente

experimentos de gran precisión han confirmado su existencia y han medido su valor. Primero veamos que es lo

que predice la teoría.

Consideremos dos placas metálicas separadas una pequeña distancia "a", según la mecánica cuántica, dentro de

las placas solo puede haber ondas electromagnéticas cuya longitud de onda sea un múltiplo de a, es decir, ondas

de frecuencia w=Π/a*n, donde n va desde 1 hasta infinito. Este hecho, produce que en el interior de las placas la

cantidad de ondas electromagnéticas es menor que en el exterior, lo que debería producir una pequeña fuerza

atractiva que tendiese a juntar las placas. Para calcular el valor de esta fuerza, consideremos 2 pares de placas

una dentro de la otra como se indica en la figura:

La energía total en las placas E(r) será la suma de la energía en el lado derecho r= (L-a) más la del lado

izquierdo r=a: Etot(a)= E(a) + E (L-a) = (1/a+1/(L-a))Π/2*n donde n va desde 1 hasta infinito. La fuerza

Casimir será entonces:

F(a)=-dEtot/da= (1/a2+1/(L-a)2)Π/2*n, por tanto tenemos que para L tendiendo a infinito nos queda:

F(a)=Π/2*1/a2*(1+2+3+4+...)

Es decir, esta fuerza es proporcional a la suma de los infinitos números naturales, por tanto, deberíamos esperar

una "infinita" fuerza repulsiva entre las placas, lo cual, evidentemente no coincide con el resultado experimental.

Pero entonces, ¿Que estamos haciendo mal? ¿Como podemos lidiar con una suma infinita?

Es ahora cuando la magia casi "mística" de la relación entre Física y Matemáticas emerge con todo su esplendor

y nos ofrece una respuesta tan ajena a nuestro sentido común que raya lo inverosímil: el resultado medido para

la fuerza de Casimir es exactamente el que mediaríamos si la suma de los infinitos números naturales

es -1/12.

Intentando desvelar el misterio

En primer lugar hay que decir que las matemáticas solo pueden tratar con sumas infinitas teniendo en cuenta

el concepto de límite. La definición de suma de los infinitos términos de una sucesión implica calcular (si es

que existe) el límite al que tienden las sumas parciales.

En segundo lugar, el método del exponencial que antes hemos citado y que se utiliza para normalizar series

divergentes, nos indica que esta serie divergente se puede descomponer en 3 partes: una parte divergente

que tiende a infinito, otra que tiende a 0 y otra que tiende a un valor finito: -1/12. Existen métodos que utilizan

los matemáticos profesionales que justifican el eliminar la parte divergente y quedarse solo con el término finito.

En tercer lugar, en el caso que hemos tratado de la fuerza Casimir, existe un efecto muy importante que no

hemos tenido en cuenta en nuestro cálculo anterior: a medida que n crece, la frecuencia de las ondas implicadas

se hace muy grande, estas ondas con altas frecuencias atravesarían las placas fácilmente por lo que no estarían

contenidas en el interior de las mismas, es decir, las ondas con altas frecuencias no deben ser tenidas en

cuenta en el cálculo del efecto Casimir. De hecho, en el cálculo teórico completo de la fuerza Casimir se

establece una frecuencia de corte máxima cuya longitud de onda es del orden del tamaño de los átomos que

forman las placas metálicas. Realizando esto y promediando la fuerza oscilante resultante a lo largo de todo el

intervalo definido obtenemos el resultado correcto para la fuerza en 1 dimensión: F(a)= -Πhc/24a2

Es decir, descartando las contribuciones de alta frecuencia llegamos a una predicción teórica finita que

concuerda con los resultados experimentales y no es otra que aquella en la que la infinita suma de los números

naturales es exactamente -1/12.

Entonces, ¿Es realmente la suma de los infinitos números naturales igual a -1/12?

El famoso matemático Noruego Niels Henrik Abel, que fue un experto en analizar series infinitas dijo una vez:

"The divergent series are the invention of the devil, and it is a shame to base on them any demonstration whatsoever"

"Las series divergentes son una invención del demonio y es una vergüenza que cualquier demostración independiente

se base en ellas".

Desde el rigor matemático, es evidente que una serie infinita divergente no es un número y no se puede sumar o

multiplicar como si lo fuese. Realmente, considerando la suma en el sentido habitual, estas series no tienen ningún

significado. Sin embargo, la definición de suma que aparece en estas series no es la habitual, la definición de suma

ha sido alterada de forma que ahora se considera la suma de los límites de las sumas parciales. Aunque en una serie

divergente estos límites no existen, en algunas series como la que hemos analizado es posible reorganizar la suma y

obtener una combinación lineal de la misma que es convergente. Esto es lo que hizo Euler en su momento.

Nadie sabe exactamente el porque, parece que, como en el efecto Casimir, los términos de "alta frecuencia" se

cancelan unos a otros y el resultado al que tienden las sumas parciales es un número finito. Podemos decir que de

alguna forma y en algún sentido la suma infinita de los números naturales no carece de sentido, podemos asignarla un

valor y ese valor no puede ser otro que -1/12. Por si esto fuera poco asombroso, este valor está profundamente

relacionado con las leyes de la Naturaleza ya que aparece siempre que tratamos de hacer cálculos con la "energía del

vacío" o con las contribuciones de la energía del vacío a la energía de las partículas en Mecánica Cuántica.

 

Fuentes: Sum of integers and oversold common senseIn the End, It All Adds Up to – 1/12Casimir Effect

 

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Comentarios enviados:
Autor: IIII
6/2/2014
IIII
Autor: planck
7/2/2014
Abel dijo que las series infinitas eran un invento del diablo, probablemente porque tratar con ellas es muy delicado y hay que saber diferenciar las "tratables" de las que no lo son. Sin embargo, algunas sumas divergentes parecen esconder un significado especial. Miremos por ejemplo la suma: E=1+2+4+8+16.. esta es la suma de las potencias de 2. ¿Se puede asignar un valor finito a esta suma? Para verlo, alargamos la suma en ambas direcciones: S=...+1/16+1/8+1/4+1/2+1+2+4+8+16... A continuación multiplicamos la suma "extendida" S por 2: 2S=...+2/16+2/8+2/4+2/2+2X1+2X2+2X4+2X8+... por tanto 2S=...+1/8+1/4+1/2+1+2+4+8+16... es decir ¡2S=S! Por tanto S tiene que ser igual a 0. Si nos fijamos la diferencia entre E y S es la suma Z=1/2+1/4+1/8+1/16+... que es la suma de la famosa paradoja de Zenon, si tengo una tarta y la parto por 2 tengo 1/2, si vuelvo a partir el trozo por 2 tengo 1/4 y si hago esto sucesivamente al final tengo una tarta entera asi que Z=1. Por tanto tenemos que E=S-Z=0-1=-1 Por tanto ¡E tiene que ser igual a -1! Ahora viene lo más interesante: Si yo cojo una calculadora y empiezo a sumar 1+2+4+8+... hasta el infinito (suponiendo una calculadora de infinita memoria y que disponemos de un tiempo infinito) cuando pulse el signo = ¿aparecerá el valor -1 en la pantalla? Se admiten opiniones, la respuesta vendrá en breve...
Autor: Noobita email: (NovitaNovi@gmail.com)
7/2/2014
Maravilloso.
Autor: Sebastián Merino email: (sebasml.correo@gmail.com)
8/2/2014
Mi primera reacción al leer este artículo fue pensar que, una vez más, la ciencia nos descubría un secreto maravilloso del mundo en que vivimos, que retaba a nuestra limitada intuición y comprensión de las cosas; que hay puertas insospechadas entre lo finito y lo infinito. Pero cuando seguí pensando en ello, todo comenzó a adquirir el aspecto de un truco de magia, en el que nada es lo que parece. Resultados como el mostrado en el artículo (expresémoslo como 1+2+3+4… = -1/12 para simplificar) habrán sido considerados en innumerables ocasiones como prueba irrefutable de falsedad en demostraciones por reducción al absurdo. ¿Tendremos que volver a revisarlas todas? En mi opinión, el truco radica en que se nos hace creer que se están sumando dos series divergentes (S y -4S), cuando lo que se está haciendo es algo muy distinto: usar los términos de esas series para construir una serie convergente (-3S) a placer. Los términos de una serie no son un conjunto de números sin más. Sus términos son los términos de una sucesión, es decir, que mantienen un orden estricto, pudiéndose definir la sucesión como una función continua sobre el conjunto de los números naturales. Y nunca he oído hablar de sucesiones “porosas y flexibles”: la sucesión 4, 8, 12, 16… no es la misma que 0, 4, 0, 8, 0, 12, 0, 16… ni que “ , 4, , 8, 12, , 16…”. Para mí la suma de dos series (convergentes) no puede ser otra cosa que las suma de los valores finitos en los que convergen. Podemos inventarnos una operación entre series para obtener una serie (-3S) sumando aritméticamente los términos de otras dos series (S y -4S), tras agrupar sus términos como deseemos (como mejor nos convenga para obtener el resultado que queremos). Pero si a esa operación la llamamos suma, debemos procurar no confundirla con la suma aritmética de enteros. Eso incluye, no utilizar el mismo símbolo. Dicho lo anterior, la única forma en la que puedo concebir una posible relación del resultado matemático, que dudo que sea correcto, con investigaciones de física de partículas es la pura casualidad (como sería el caso de la medición de la fuerza por efecto Casimir), o por compartir el mismo error fundamental (como sería el caso de desarrollos teóricos relacionados con la teoría de cuerdas). P.D.: Soy un simple aficionado (y menos que eso) en este tipo de cuestiones, y la rotundidad con la que me expreso puede ser bien atribuida al atrevimiento de la ignorancia.
Autor: planck
9/2/2014
Sebastián tienes razón en lo que dices, la "demostración" de Euler parece un truco, una manipulación basada en la redistribución de las series para obtener un valor finito. Como dices, y se señala en el artículo, la suma de estas series no se puede considerar una suma en el sentido convencional, sin embargo, tienes que tener en cuenta dos cosas: La primera es que métodos matemáticos bastante más sofisticados y rigurosos han encontrado exactamente el mismo valor,¿Casualidad? Parece bastante difícil pienso yo. La segunda tiene que ver con el núcleo más profundo de la relación entre las Matemáticas y el mundo Físico (yo tampoco soy un experto, evidentemente esto es solo mi opinión): las definiciones matemáticas (definiciones de adicción, sustracción, potencias, etc) son convenciones humanas, muchas de estas convenciones no son "únicas", se pueden modificar produciendo resultados diferentes. ¿Cual es el método correcto? Desde el punto de vista matemático todos lo son en base a los axiomas y las reglas lógicas en las que se basan, sin embargo, algunos de estos "métodos" son un "reflejo" del mundo "real", es decir, del mundo Físico y otros no. En Física, solo nos interesa esta última parte de la Matemática, la que "capta" las estructuras que soportan el Universo que habitamos. Desde este punto de vista, existen varios métodos que son capaces de asignar a esta suma infinita un único valor finito y este valor es el que ha sido encontrado en los experimentos, para la Física, ¡Este es el valor correcto! y este es el método correcto. Por esto, en mi opinión, tu primera intuición de que una vez más la ciencia había descubierto otro secreto maravilloso y que hay puertas insospechadas entre lo finito y lo infinito sigue siendo acertada. Uno de estos métodos para encontrar el "mágico" valor -1/12 se basa en la función zeta de Riemann, esta función es muy especial y ha llamado la atención de los matemáticos y de los físicos durante décadas, existe una profunda y misteriosa relación entre esta función, los números complejos, el mundo Físico y las unidades fundamentales de los propios números: los números primos. La relación entre Matemáticas y Física es, en mi opinión, uno de los temas más fascinantes de la ciencia, seguro que en el futuro nuevos avances en ambos campos arrojarán más luz sobre esta relación. PD: La serie que expuse arriba ilustra muy bien lo que estamos debatiendo: esta suma tiene un valor finito más "intuitivo" usando una numeración diferente a nuestra numeración convencional, la cual es evidentemente, pura convención humana, derivada del hecho de que tenemos 10 dedos en las manos:D. En breve, comentaré aquí cual es la respuesta.
Autor: planck
3/30/2014
La respuesta a la pregunta anterior está en el artículo "El enigmático mundo de los números"
Autor: tao
4/24/2014
Saludos, Tras un buen rato preguntandome que es que algo vaya en contra de la intuicion, basandome para ello en lo que me sugiere la mia, he acabado por pensar que lo que es contrario a la intuicion es la idea de infinito. Partiendo de la idea inicial de unidad no soy capaz de concebir un conjunto de infinitas unidades, quizas si del potencial de la unidad de sufrir infinitas divisiones, o de la suma sin fin de unidades pero soy incapaz de intuir un conjunto con infinitos elementos. Por otra parte donde creo ver un fallo en el planteamiento matemático es en la aplicacion de taylor para la serie denominada -3S. Esa es una serie alternada y sus valores son, a medida que crece n: 1,-1, 2, -2, 3, -3... Para n->inf. El valor sera ora inf ora -inf. Por tanto, me es dificil aceptar que dicha serie converja a 1/4, por mucho que acepte la teoria de las series de Taylor. No puedo opinar sobre los otros métodos matemáticos mencionados ya que no los conozco, aunque me intriga profundamente como se puede llegar a despreciar la "parte divergente" de una serie. Finalmente, en cuanto a los resultados experimentales en el seno de la fisica cuantica, practicamente solo puedo decir que la fisica cuantica si que escapa a la intuicion y por ello no entro a defender que sea o no casualidad la coincidencia de los resultados. Atentamente, Un alumno de fisicas en plens paranohia tras leer este maravilloso artículo. P.D.: Disculpen la mitad de mis faltas de ortografia y deletreo, la mitad se deben a que escribo desde un smartphone.
Autor: Chema
1/7/2016
El infinito es una entelequia humana. Para poder medir la distancia en metros hasta el limite del universo, por ejemplo, y que esta suma nos diese "infinito" el universo tendría que ser "infinito", ahora bien, como el universo es finito y se expande, en un instante tendrá una distancia, pero como nos empeñamos en que esa distancia sea "infinita" en ese limite los números se vuelven negativos y, por así decirlo, rebotan, y tendría que ser "0" pero como se expande, hay una velocidad de expansion que es justamente 1/16
Autor: Chema
1/7/2016
1/12 es lo correcto.
Autor: Armando
5/8/2016
Pongo un ejemplo sencillo que he encontrado para describir lo infinito matemático. Sabemos que hay'infinitos naturales e infinitos números primos dentro de esos naturales. No son el mismo infinito. Sino todos los números serían primos!!! En la sumación señalada arriba, se supone que se tiene el mismo números de términos lo cual es cierto¿ pero no se suman uno a uno. Cada 4 suma 1. Obviamente la relación es 1/4. Pero nada más. Si se resta será -1/4 y luego cada tres -1/12 con lo cual el número sólo determina una proporción
Autor: Matraca
7/10/2016
¿Existen los números en el mundo físico? Claro que no. ¿Existe el infinito en el mundo físico? No es tan claro pero todo apunta a que hay cantidades gigantescas pero el infinito no existe en realidad. En el mundo físico no existe el infinito. Ni siquiera contemplando los multiversos. La suma diverge, pero... si empujamos las fronteras axiomáticas encontramos este valor especial: -1/12 Lo acepto. Aún así, las matemáticas reflejan más nuestras estructuras lógicas naturales a nuestras redes neuronales (una parte del mundo físico) más que al mundo físico en sí. Y, mientras nuestra especie, con sus millones de años de prehistoria y nuestra civilización, con sus miles de años de historia, no encuentren un semejante extraterrestre para poder comparar sus ontologías y sus semióticas, estamos en la oscuridad de nuestra autoignorancia: No sabemos que es lo que no sabemos.
Autor: antonio espinosa
6/8/2017
El efecto casimir es una clara demostración que lo que llamamos gravedad no es mas que el empuje generado por el universo el todos los sentidos imaginados. Si se analiza el efecto casimir con mayor interés de podrá entender como interacciona la materia en lo macro y en lo micro.
Autor: Antonio Espinosa
6/8/2017
Es difícil comunicar asuntes de interés cuando no usamos un lenguaje bien definido, cuando trato de comunicar ideas, me encuentro con el problema que en filosofía se interpreta de una manera y en los diccionarios de otra. Los físicos han tratado de manejar un lenguaje mas claro pero al mismo tiempo mas complejo para los no físicos. Ahora voy a exponer un tema simple. Reduzco todo lo que existe sl tamaño de una naranja, eso sería universo o existencia, nosotros también estamos en ella, la naranja seria la única realidad ósea seria 1, hay que considerar que no hsy fuera
Autor: Antonio Rspinoda
6/8/2017
... No hay fuera, si usamos la imaginación y liberamos una parte de este todo, cuantas partes tendríamos ahora, yo pienso que tres, podríamos decir que dos serian tangibles y la que marca la separación seria intangible, para que la una sea independiente de la segunda necesitamos de una tercera. Esto me da que la naranja menos ese pequeño trozo me genera un tercer algo distinto de la naranja. 1-2=3 o en su efecto 1/2=3 Si lo analizan puede ser mas que un tema.