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05-03-2015

LA REALIDAD DE LAS ENTIDADES MATEMÁTICAS

Hasta hace poco tiempo, ciertas entidades matemáticas como la fase de la función de onda cuántica o los potenciales

eléctricos eran considerados como simples artificios matemáticos sin otra relevancia física que simplificar ciertos cálculos

útiles para determinar ciertas cantidades físicas. Sin embargo, experimentos recientes han puesto en serias dudas esta

afirmación debido a que se ha demostrado que estas entidades matemáticas influyen y determinan el valor de las

magnitudes físicas "reales". En este artículo nos centraremos en la fase de la función de onda, el estudio de esta

"entidad imaginaria" nos llevará a una nueva y sorprendente visión de la realidad física. Esta nueva visión nos descubre

un nuevo mundo físico, un mundo con dimensiones ocultas y nuevas geometrías: ¿Nuestro mundo real?

La fase de una partícula en mecánica cuántica

La famosa ecuación de Schrödinger:  ih*d/dt(ø(t.x))= -h2/2m(grad)2ø(t.x)+V(t,x)ø(t.x) describe a una partícula

cuántica no relativista de masa m donde ø(t.x) es la función de onda cuántica.

Vamos ahora a fijarnos en la solución de esta ecuación que es: ø(t.x)=ei(kx-wt). Si representamos gráficamente

esta solución obtenemos lo siguiente:

Es decir, la función de onda es "algo" que "gira" continuamente en el plano complejo. Si consideramos constante el

módulo de la función de onda ésta queda totalmente determinada por su fase: el ángulo Ø. Sin embargo, la función

de onda y su fase no se pueden medir directamente mediante ningún experimento físico. Las magnitudes físicamente

medibles son por ejemplo la energía, el tiempo, la posición o el momento.La probabilidad de encontrar a la partícula

en un punto está determinada por el cuadrado del módulo de la función de onda: |ø(t.x)|2. Esto significa que, para

cualquier experimento físico solo importa el cuadrado del módulo de ø(t.x), es decir, la fase de la partícula no

tiene ninguna influencia: dos partículas con distinta fase son físicamente equivalentes. Este hecho fundamental de la

mecánica cuántica ha llevado a pensar a muchos físicos que la fase de la función de onda es solo un artificio matemático

sin relevancia física, sin embargo, experimentos como el efecto Aharanov-Bohm y el descubrimiento de la fase

geométrica demuestran que ciertos cambios en las magnitudes físicas inducen cambios en la fase de la función de onda y

viceversa. Entonces, ¿Podemos considerar a la fase de la función de onda como algo con existencia real e independiente?

¿Podemos considerar a una entidad que no puede medirse directamente pero que influye y determina el valor de

cantidades físicas medibles como algo real? Trataremos de responder a esta pregunta explorando como este "giro

fantasmal" de las partículas cuánticas tiene aplicaciones e implicaciones totalmente insospechadas y sorprendentes.

El experimento de Aharonov-Bohm

Considerar un solenoide cilíndrico muy largo por el que pasa una corriente eléctrica. En el interior se crea un campo

magnético uniforme pero en el exterior tanto el campo magnético como el campo eléctrico son nulos. A continuación

enviamos un haz de electrones que pasan alrededor del solenoide y medimos su fase. Lo que encontramos es increíble:

¡ Su fase ha sido desplazada un ángulo Ø incluso en la asusencia total de campos electromagnéticos !

Las ecuaciones de Maxwell que rigen el electromagnetismo pueden expresarse equivalentemente en función de

campos o en función de potenciales. Hasta no hace mucho los campos se consideraban reales y los potenciales,

debido a su no localidad, se consideraban meros artificios matemáticos. Sin embargo, este experimento muestra

que el potencial electromagnético, que no se anula fuera del solenoide, produce efectos físicos medibles sobre la

fase de la función de onda. ¿Son estas dos entidades artificios matemáticos u objetos físicos reales?

El transporte paralelo y la fase geométrica

Imaginemos a un ser microscópico que vive en la superficie de una esfera muy grande. Este organismo, que sabe

matemáticas, quiere medir la curvatura de la superficie en la que vive. Para ello, lo que hace es desplazar una

vara (un véctor) siguiendo la regla matemática del transporte paralelo a lo largo de un circuito cerrado. Si la

superficie en la que vive tiene curvatura, la orientación del vector al volver al punto de partida habrá cambiado.

Esto se ve claramente en la siguiente figura:

                                       

Si partimos desde un vector perpendicular a la horizontal en el polo norte y lo transportamos

paralelamente a lo largo de un circuito cerrado, cuando llegamos al punto de partida el vector

estará desplazado un ángulo Ø respecto a su posición original. Ø es proporcional a la curvatura.

Ahora imaginemos a unos seres bastante inteligentes que viven en la superficie de un planeta de tamaño mediano

(nosotros) y que hacen el siguiente experimento: toman una partícula elemental (por ejemplo un electrón) y la

desplazan lentamente a lo largo de un circuito cerrado (de forma similar al vector en el transporte paralelo) de

forma que el estado cuántico de la partícula no cambie (para evitar cambios o saltos en la función de onda).Una

vez que han regresado al punto de partida comparan la fase de la partícula con la fase de otra que hubiese

permanecido en reposo (como hicimos para medir el cambio de orientación del vector anteriormente). Lo que

se observa es que ha habido un desplazamiento de fase adicional en la partícula que ha realizado el circuito

cerrado. Este cambio de fase adicional se llama fase geométrica o Berry phase y representa una modificación

de la fase "usual" de las partículas o fase dinámica. Al igual que en el caso del transporte paralelo, el sistema,

al realizar un circuito cerrado, no vuelve a su estado inicial sino que experimenta un cambio de orientación.

¿Estamos midiendo la curvatura de alguna entidad geométrica o topológica inherente a nuestro espacio-tiempo?

Analizando matemáticamente el origen de la fase geométrica encontramos algo increíble: esta fase no depende

del camino seguido, ni de la velocidad a la que se realice, no depende de ninguna magnitud física medible, solo

depende del camino seguido en el espacio de parámetros del Hamiltoniano del sistema. Lo increíble es que

¡ este espacio es un espacio matemático abstracto !. Este espacio se denomina también el espacio

Proyectivo de Hilbert. Tenemos entonces que el movimiento de una partícula dentro de un espacio matemático

abstracto determina el valor de una magnitud (la fase de la función de onda) que al final tendrá efectos

medibles en experimentos físicos reales (por ejemplo experimentos de interferencia de partículas). Esto

constituye uno de los más grandes ejemplos de la intrincada fusión entre Física y Matemáticas.

La geometría subyacente que explica la fase geométrica

En topología un fibrado es una aplicación continua de un espacio topológico en un espacio base. Esta

aplicación se realiza mediante una conexión que determina como se "proyectan" ambos espacios topológicos.

La mecánica cuántica se describe matemáticamente mediante un espacio denominado el espacio de Hilbert

proyectivo PH mientras que la fase cuántica esta fijada por el espacio que describe un círculo en el plano

complejo, este espacio se denomina U(1). Podemos construir un fibrado "proyectando" ambos espacios

matemáticos F: (U(1),PH) sin embargo, existe una gran cantidad de conexiones posibles para realizarlo. En

1992 Bohm fue capaz de demostrar que existe una única conexión que consigue preservar una simetría

fundamental que permite que las probabilidades en mecánica cuántica siempre sumen el 100%. Esta

conexión se denomina "Berry connection". Esta conexión especifica la forma de realizar el transporte

paralelo de un vector sobre la superficie del fibrado, es decir, mide la curvatura del fibrado.

Lo increíble es que al construir el fibrado F: (U(1),PH) según la Berry connection obtenemos un espacio

topológico que nos permite calcular la magnitud exacta de la fase geométrica. Por si fuera poco,

los cálculos matemáticos en este espacio nos indican que si giramos una partícula alrededor de un solenoide

muy largo por el que pasa una corriente encontramos que el desplazamiento de la fase geométrica es

exactamente el que encontramos en el experimento de Aharanov-Bohm. Por tanto esta última puede

considerarse un caso partícular de fase geométrica. La fase geométrica no puede explicarse teniendo en cuenta

únicamente los espacios proyectivos de Hilbert como sucede en el resto de fenómenos cuánticos. Esto nos lleva

a una conclusión sorprendente: la única forma de explicar y abarcar todos los fenómenos cuánticos conocidos

es considerar el fibrado F: (U(1),PH), esta estructura matemática es la única que explica todos los fenómenos

cuánticos conocidos.

Conclusiones

Numerosos experimentos demuestran que existen ciertas magnitudes o "entidades matemáticas" que aunque no

son medibles directamente influyen sobre las magnitudes físicas que sí podemos medir en los experimentos. Esto

implica una "realidad oculta subyacente" o una "realidad matemática". Existe una gran controversia sobre el estatus

que debemos otorgar a estas entidades: ¿Podemos considerarlas entidades reales? ¿Debemos redefinir el concepto

de realidad? Muchos Físicos y Matemáticos contemplan seriamente la posibilidad de que esta realidad oculta sea

en realidad consecuencia de la existencia de nuevas dimensiones del espacio-tiempo. Existen gran cantidad de

evidencias que apuntan a esta increíble posibilidad: los grados de libertad adicionales de las partículas, las ecuaciones

de Kaluza-Klein, las características de los números complejos, la teoría de supercuerdas...

En los próximos años nuevos trabajos teóricos y nuevos experimentos podrán empezar a verificar la existencia de

esta "realidad oculta". Lo que queda plenamente demostrado es que nuestro Universo es un lugar increíble y

fascinante y la ciencia es la única capaz de mostrarnoslo en todo su explendor.

 

Fuentes: Gauge Symmetry philosophical approach, Berry phase and quantum structure

 

 

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Autor: IIII
5/3/2015
IIII
Autor: Hector04 email: (hector_denis@yahoo.com)
6/3/2015
Si te digo: La magnitud y el angulo equivale a la escuadra y el compás. ¿Que es mas real el compás o el angulo? El compás mide el angulo dirás pero fíjate que hay metáfora, esa misma dualidad se tiene en la palabra: significado y significante tal vez mostrarnos el significante de tales ideas no tiene mucho sentido a quienes aun no salen de la caverna por mi parte me agradría parafrasear las palabras de gauss y maxwell al respecto: Todo cambia cuando dejas a un lado los métodos de descartes y dejas de expresarte en la forma cartesiana, muchas veces evitándolas.
Autor: planck
7/3/2015
Hola Héctor, creo que la mayoría de la gente que existe en el mundo sigue en la parte más profunda de la caverna conviviendo con las sombras que proyecta la hoguera. Unos pocos han conseguido levantarse y están vislumbrando los alrededores pero solo una pequeñísima parte, con la ayuda de la Biología, la Física y las Matemáticas, están empezando a ver el exterior de la cueva y están descubriendo un mundo totalmente nuevo, fascinante y sorprendente. Sin embargo, cuando entran en el interior de la misma para contar al resto este increíble mundo exterior la mayoría no les cree o no quieren creerlos aunque les traigan gran cantidad de pruebas de objetos del exterior. Ellos están instalados en la comodidad de la cueva y tienen miedo a lo desconocido o sencillamente no lo entienden. A pesar de ello, los que ya han visto el mundo exterior no pararán hasta descubrir todos sus secretos, no solo por curiosidad, sino porque en un futuro, sus conocimientos podrán salvar a los habitantes de la oscura cueva.
Autor: Hector04 email: (hector_denis@yahoo.com)
9/3/2015
Plank tienes algo de literatura de espacio proyectivo cuaternionico(PH) llevo un tiempo trabajando un poco en ello y este articulo me reveló una maravillosa coincidencia y muchas dudas.
Autor: planck
9/3/2015
Hector, intenta buscar en arxiv seguro que encuentras varios paper que te puedan servir. Me alegro mucho de que mi artículo te haya podido inspirar.