La teoría de la relatividad general cambió para siempre nuestra forma de ver el Universo que nos rodea: el espacio y el tiempo son parte de una entidad 4-dimensional dinámica denominada espacio-tiempo. Sin embargo, en la teoría relativista el espacio-tiempo está definido de forma clásica y es sabido que a nivel fundamental la naturaleza es cuántica. Por esto, el espacio-tiempo debe emerger a partir de constituyentes fundamentales a escala cuántica. Entender cuales son estos constituyentes y como emerge el espacio-tiempo es una de las tareas más fundamentales y trascendentes de la historia de la física y del conocimiento humano. En este artículo veremos tres aproximaciones a este formidable reto: dos desde el punto de vista de la teoría de cuerdas y una desde el punto de vista de la gravedad cuántica de bucles. Además explicaremos una fascinante relación entre ambas teorías que podría conducir a una unificación de nuestras dos principales aproximaciones de gravedad cuántica.
¡ Bienvenidos al estudio de la naturaleza fundamental del espacio-tiempo !
La emergencia del espacio-tiempo clásico en teoría de cuerdas
En una primera aproximación afrontaremos la emergencia del espacio-tiempo clásico de la relatividad general en teoría de cuerdas. En teoría de cuerdas la noción de espacio-tiempo está ligada a un objeto denominado "hoja de mundo" (world sheet) que describe el movimiento de las cuerdas en el espacio-tiempo. Este movimiento describe una hoja bidimensional:
Superficie (worldsheet) formada por el movimiento de una cuerda abierta (izquierda)
y una cuerda cerrada (derecha).
El movimiento de las cuerdas formando la "worldsheet" está descrito por los denominados "modelos sigma". Estos modelos tienen la peculiaridad de que el acoplamiento g que determina la fuerza de la interacción no es constante sino que depende del campo gravitatorio. El estudio de estos modelos nos indica que solo son consistentes si poseen una simetría especial denominada "simetría de Weyl" y esta simetría solo se manifiesta si los campos son invariantes ante cambios de coordenadas es decir, si cumplen con las ecuaciones de la relatividad general. Este hecho nos permite vislumbrar la emergencia del espacio-tiempo clásico en teoría de cuerdas:
las cuerdas solo pueden residir en hojas de mundo cuyos campos cumplen con las ecuaciones de la relatividad general. Este impresionante resultado llevo al físico David Tong a escribir:
"That tiny string is seriously high-maintenance: its requirements are so stringent that they govern the way the whole universe moves"
"Esa pequeña cuerda requiere un gran mantenimiento: sus requisitos son tan estrictos que gobiernan la forma en que se mueve todo el Universo"
La emergencia del espacio-tiempo cuántico en teoría de cuerdas
El cuanto de la interacción gravitatoria es el gravitón. A continuación analizaremos que le sucede a la acción de la world-sheet cuando se produce una interacción con un gravitón. La acción asociada a la cuerda en la worldsheet viene dada por:
El gravitón está descrito por un tensor simétrico sin traza S. Para analizar este proceso a nivel cuántico usaremos la integral de caminos de Feynman cuyo valor depende del factor eiS(x). Si perturbamos esta métrica incluyendo una interacción con un gravitón tenemos:
En teoría de campos la aparición de campos clásicos se produce a través de "estados coherentes", es decir, a través de una superposición de un gran número de estados excitados. Este hecho, nos hace vislumbrar la emergencia del espacio-tiempo a nivel cuántico: este parece emerger del entrelazamiento de muchos estados cuánticos.
Si consideramos un número muy grande n de estados entonces la interacción viene dada por:
Pero esta amplitud es exactamente la que obtendríamos si hubiésemos modificado nuestra métrica original de la forma:
Esto quiere decir que, en lo que respecta a la integral de caminos, no existe diferencia entre un espacio-tiempo curvo y un espacio-tiempo plano de Minkowsky con una excitación coherente de gravitones. Esto nos indica que la curvatura del espacio-tiempo es producido por un estado coherente de gravitones.
Emergencia del espacio-tiempo y holografía
Antes de empezar este apartado debemos revisar dos conceptos clave sobre los dos objetos básicos de la teoría de cuerdas: las cuerdas y las D-branas.
1º) Una Dp-brana es un objeto de p dimensiones con cuerdas abiertas adheridas a su superficie. Este objeto separa las 10 dimensiones totales del espacio-tiempo en dos grupos: p dimensiones tangentes a la Dp-brana y 10-p dimensiones transversales (perpendiculares) a la Dp-brana.
2º) Las cuerdas abiertas poseen cargas eléctricas en sus extremos. Como estos extremos están adheridos a las D-branas las branas portan carga eléctrica (en realidad portan un campo equivalente denominado campo de Kalb-Ramond). De forma similar a como el campo eléctrico posee simetría U(1), N cuerdas adheridas a la D-brana producen una simetría SU(N).
A continuación ya estamos en situación de explicar la emergencia del espacio-tiempo en el contexto de la holografía. Como es sabido la teoría de supercuerdas se basa en un espacio-tiempo de 10 dimensiones. Imaginar que tenemos un número muy grande N de 3D-branas apiladas en una misma región del espacio-tiempo. El acoplamiento g describe la fuerza de la interacción entre cuerdas. Veremos que sucede según variamos este parámetro desde un valor muy pequeño hasta un valor muy grande.
Escenario para g muy pequeño
Cuando el acoplamiento es muy pequeño tenemos dos sistemas físicos completamente desacoplados: el conjunto de D3-branas apiladas y un conjunto de cuerdas cerradas (el campo gravitatorio) que se propagan libremente por las 10 dimensiones del espacio-tiempo:
Como vimos al principio de este apartado un conjunto de N D-branas coincidentes producen un sistema con simetría SU(N). Por tanto, el primer sistema consiste en una teoría gauge supersimétrica con simetría SU(N) y el segundo sistema consiste en una teoría de cuerdas cerradas denominada teoría de supercuerdas tipo IIA.
Este escenario se traduce en un conjunto de N de 3D-branas en un espacio-tiempo plano de 10 dimensiones. La distribución de estas dimensiones es la siguiente:
Imaginemos un observador en una nave espacial en este espacio-tiempo. La nave se dirige hacia el punto P y va midiendo el tamaño de los círculos concéntricos alrededor de este punto. Según nos acercamos a P la longitud de estos círculos va disminuyendo progresivamente hasta alcanzar longitud cero justo al alcanzar el punto P:
Escenario para g muy grande
Según aumentamos el valor del acoplamiento y llegamos a un valor donde g>>1 los efectos gravitatorios comienzan a ser importantes y las D3-branas comienzan a interactuar. Estas branas portan masa, energía y el equivalente a un campo eléctrico:
el denominado campo de Kalb-Ramond. Como la energía sigue siendo baja comparada con la energía natural de las cuerdas (1/ls donde ls es la longitud de la cuerda) podemos utilizar las soluciones de baja energía de la teoría de supercuerdas.
La solución tiene una métrica de la forma siguiente:
Esta solución representa un espacio-tiempo con la siguiente geometría:
Ahora la geometría en torno a P ha cambiado radicalmente. ¡ El punto P ha sido desplazado a una infinita distancia respecto a cualquier otro punto del espacio-tiempo !
En esta geometría nuestra nave de exploración detectará que según se acerca al punto P el tamaño de los círculos concéntricos va disminuyendo y se va acercando de forma asintótica a un valor fijo R. Este valor es el radio de la garganta de longitud infinita.
La nueva distribución de las dimensiones espacio-temporales es la siguiente:
La garganta junto con el espacio-tiempo hiperbólico que se "pega" asintóticamente al espacio-tiempo plano representa una geometría AdS5. Al final de la infinita garganta tenemos una esfera de 5 dimensiones. Por tanto el espacio-tiempo global en el fondo de la garganta tiene una simetría AdS5xS5.
El punto clave es que se ha producido una redistribución de las dimensiones espaciales originales. Inicialmente tenemos un conjunto de D3-branas ocupando un espacio de 3 dimensiones más 1 dimensión temporal, esto nos deja un total de 6 dimensiones transversales a las branas. Al aumentar el acoplamiento cinco de las dimensiones transversales se transforman en una 5-esfera y las 3 dimensiones de las branas más la dimensión temporal forman la "garganta" del espacio AdS. Pero entonces ¿Qué ha sucedido con la dimensión transversal que nos falta? La respuesta es que esta dimensión también ha pasado a formar parte del espacio AdS de la garganta. Si nos fijamos la garganta posee una nueva dimensión: la dimensión r. Podemos afirmar que de alguna forma esta dimensión es emergente. De forma esquemática la redistribución sería la siguiente:
Redistribución de las dimensiones originales al aumentar el acoplamiento: las 3+1 dimensiones de las 3-branas más una dimensión r transversal se transforman en un espacio AdS5, las otras 5 dimensiones transversales a las 3-branas forman una 5-esfera.
Todo este proceso implica lo siguiente: a bajo acoplamiento tenemos dos sistemas desconectados: una teoría gauge SU(N) y una teoría de supercuerdas tipo IIA. A alto acoplamiento tenemos una geometría AdS5xS5. La conclusión que podemos sacar de este escenario es que la teoría gauge y la geometría AdS5xS5 son en realidad ¡ la misma teoría ! Esta es la famosa dualidad AdS/CFT: una teoría conforme formulada en N dimensiones es equivalente a una geometría AdS formulada en N+1 dimensiones.
La dualidad AdS/CFT tiene similitudes con la física de un sistema de información holográfico: toda la información de una imagen 3D puede almacenarse en una imagen holográfica 2D. De esta forma el sistema CFT almacena toda la información sobre la geometría AdS y decimos que el espacio-tiempo AdS surge de forma holográfica.
La emergencia del espacio-tiempo en Teoría Cuántica de Bucles
Uno de los principios básicos de la Teoría Cuántica de Bucles (LQG) es que todas las magnitudes que describen la geometría (longitudes, áreas, etc) están cuantizadas. Esto es debido a que el espacio-tiempo a nivel fundamental es discreto debido a la existencia de un tamaño mínimo: la longitud de Planck. Por esto, si tomamos un volumen de espacio cualquiera, por ejemplo, un tetraedro, todas las medidas que podamos realizar sobre el estarán cuantizadas. Para describir el tetraedro debemos tomar las variables independientes más adecuadas. En LQG el vínculo entre mecánica cuántica y geometría tiene su origen en el simple producto vectorial de dos vectores:
De esta forma en LQG las caras del tetraedro se describen como la superficie determinada por 1/2 del producto vectorial de los 2 lados que forman el triángulo.
Este producto vectorial define cuatro vectores (Lo,L1,L2,L3) perpendiculares a las cuatro caras. Estos vectores poseen toda la información sobre la geometría del tetraedro. Por ejemplo la superficie de las caras viene dada por el módulo del vector L y el volumen del tetraedro viene dado por:
Además, debido a la simetría rotacional la suma de los cuatro vectores es cero:
Debido a esta simetría rotacional los valores de los cuatro vectores forman un grupo: el grupo SU(2). ¡Este es el grupo que determina el spin, es decir, el momento angular!
Este es el vínculo que buscábamos entre geometría (espacio-tiempo) y mecánica cuántica: puesto que los vectores L que describen al tetraedro representan valores de momento angular y estos valores tienen que estar cuantizados en LQG podemos usar los valores cuantizados asociados al spin cuántico. Estos valores vienen dados por las representaciones del grupo SU(2). Por tanto, los valores cuantizados del área vienen dados por:
Donde lo es una constante con unidades de área. Por ello tenemos que a cada valor del momento angular j le corresponde un valor de una superficie S. Esta es la forma en la que el espacio-tiempo "emerge" en LQG.
Hacia una relación entre la Teoría de Cuerdas y la Teoría Cuántica de Bucles
Los apartados anteriores basados en teoría de cuerdas (TC) ponen de manifiesto una carencia muy importante: la teoría parte inicialmente de un espacio-tiempo preexistente en el que se mueven las cuerdas que generan la worldsheet. Por esto se dice que la teoría de cuerdas no es independiente del entorno. La teoría cuántica de la gravedad definitiva debería ser capaz de explicar como emerge el espacio-tiempo de componentes cuánticos fundamentales.
La teoría cuántica de bucles (LQG) es capaz de solucionar esa carencia ya que no parte de un espacio-tiempo inicial sino que el espacio-tiempo surge a partir de una estructura pre-geométrica definida por la teoría. Sin embargo, LQG tiene otra carencia fundamental: no está claro como emerge el espacio-tiempo clásico de la relatividad general a partir de la estructura pre-geométrica de la teoría. Por ello algunos físicos han propuesto un posible vínculo entre ambas teorías: LQG aportaría la estructura pre-geométrica del espacio-tiempo mientras que la TC representa la teoría efectiva que describe la dinámica de esa estructura pre-geométrica y que da lugar al espacio-tiempo que observamos. A continuación explicaremos brevemente esta posible y fascinante relación.
Los valores de j permitidos por LQG son plasmados en un grafo del tipo:
Dada una superficie S definida en un grafo de LQG podemos calcular el valor del área total de la forma siguiente: dividimos el área total en un número I muy grande de unidades de área. El área de estas unidades será:
Donde ji es la representación de SU(2) asignada a la i-enésima celda de la superficie.
El punto clave relevante en nuestra discusión es que una vez definida una superficie en un grafo de LQG esta puede expresarse como una suma de "unidades fundamentales de área". Esta suma se realiza contando todos los puentes del grafo que atraviesan la superficie total que hemos definido. La unidad fundamental de área se expresa en función del momento angular j que es un estado del grupo SU(2), esto es, un valor de spin:
Representación de un único puente de un grafo de LQG: el puente del grafo "pincha" la superficie y define una unidad de área. De esta forma el área es expresado en función del momento angular j de la representación de SU(2). (El mínimo valor posible de área se obtiene sustituyendo j por 1/2 que es el mínimo valor de j, ver primera expresión).
Fijémonos ahora en como se define el área en teoría de cuerdas. En TC la acción de la worldsheet viene dada por la denominada acción de Nambu-Goto:
Donde la raiz cuadrada de hAB es precisamente el área de la worldsheet. Para derivar la dinámica debemos calcular el extremo mínimo de la acción (principio de mínima acción).
A continuación nos hacemos la pregunta clave: suponiendo que no existe un espacio-tiempo preexistente y por tanto no podemos medir longitudes ni áreas ¿Como podríamos definir el objeto hAB en la acción de Nambu-Goto? Resulta que LQG tiene la respuesta a esta pregunta crucial. Supongamos que tenemos un gran número de cuerdas moviéndose en una pre-geometría sin ninguna estructura, sin ninguna métrica definida. Las worldsheet de cada una de las cuerdas se interceptarán mutuamente un gran número de veces. Siguiendo los principios de LQG a cada uno de esos puntos de intersección le podemos asignar una unidad de área cuyo valor viene dado por el momento angular j de la cuerda que intersecta la worldsheet. De esta forma el área total de la worldsheet será el valor esperado (la media estadística) de todas estas unidades de área:
Puesto que las cuerdas portan masa y energía, para un número muy grande de ellas uno espera que la tendencia sea evitar que las cuerdas se solapen es decir minimizar el número de choques entre cuerdas. Esto equivale a minimizar el valor esperado del operador de área. Pero realizar esta operación equivale precisamente a minimizar el área y la acción de Nambu-Goto. Por tanto concluimos que la acción de Nambu-Goto surge debido a la necesidad de minimizar el valor esperado del operador de área de LQG. ¡Esta es la sorprendente relación entre la teoría de cuerdas y la gravedad cuántica de bucles!
Esta relación podría suponer la unificación de ambas teorías lo que supondría un enorme paso hacia la teoría de gravedad cuántica final.
Fuentes:
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