En 1997 el físico Jhon Preskill apostó al gran Estephen Hawking y al conocido físico Kip Thorn que la información no era destruida en los agujeros negros. Imaginar un Universo con "sumideros" donde la información se perdía para siempre parecía algo inconcebible y además contradecía varias leyes fundamentales de la física. Sin embargo, el cálculo de Hawking que mostraba que la información era destruida en los agujeros negros parecía impecable y nadie había encontrado ningún error en su planteamiento. Muchos físicos creen que la solución a esta paradoja traerá consigo una nueva forma de entender el espacio-tiempo en su nivel fundamental. Casi cinco décadas después del planteamiento de la paradoja, por fin, empezamos a vislumbrar la solución y como muchos predecían, esta solución puede implicar un cambio de paradigma. En este artículo analizaremos los recientes y apasionantes trabajos que están empezando a crear una nueva y fascinante visión de la dinámica fundamental del espacio-tiempo.
Holografía y superficies de Ryu-Takayanagi
Como vimos en este artículo la nueva propuesta para solucionar la famosa paradoja de la infomación en los agujeros negros implica conceptos de holografía y las llamadas superficies de Ryu-Takayanagi. En este apartado revisaremos muy brevemente estos conceptos.
Un espacio-tiempo AdS (Anti-deSitter) como el del interior de un agujero negro (AN) puede representarse en coordenadas conformes como un cilindro en el que el eje vertical representa el tiempo y el eje horizontal el espacio AdS. Por el principio holográfico obtenemos que la información de la geometría AdS del AN debe estar codificada en un sistema cuántico (CFT) en el borde asintótico, es decir en el borde del cilindro:
Si hacemos una sección del cilindro en un instante de tiempo determinado obtenemos:
Consideremos ahora dos CFTs: La CFTan correspondiente a los estados del interior del AN y la CFTrad correspondiente a los estados de la radiación de Hawking. La llamada superficie de Ryu-Takayanagi (RT) es proporcional a la entropía de entrelazamiento entre ambos sistemas y se define como la superficie extremal de ambos sistemas con menor entropía. Por tanto la superficie de RT representa una "zona de unión" de ambas CFTs.
Una vez que el AN comienza a evaporarse la entropía del AN comienza a disminuir mientras que la entropía asociada a la radiación de Hawking comienza a aumentar.
El tiempo de Page es el instante en el que la entropía del agujero negro es igual a la entropía de la radiación de Hawking. Por tanto, antes del tiempo de Page la entropía de la CFTan es mayor que la de la CFTrad y viceversa.
La superficie de RT es la superficie mínima de ambos sistemas, esto es, la zona donde la entropía es menor. Antes del tiempo de page la zona de menor entropía es cualquier superficie vacía fuera del AN, por tanto, en este periodo no hay superficie de RT (esta superficie es nula) y ambas CFTs están "desconectadas" , es decir, son independientes.
Sin embargo, en el tiempo de Page sucede algo extraordinario: la zona de menor entrelazamiento está ahora dentro del agujero negro. Por esto, ahora, la superficie de RT ya no es nula. Para entender que sucede debemos trazar la superficie de RT en la CFTan. La superficie de RT asociada a dos puntos del borde se describe como el mínimo area cubierto por un trayecto en el espacio AdS entre esos puntos que contiene el borde entre A y B. El mínimo área en un espacio AdS es el formado por el camino más corto (la geodésica) entre A y B:
Ahora un observador dentro del espacio AdS que pudiera acceder a la información de la CFT del AN se encontraría con que esta CFT ya no tiene la información de la zona de la superficie de RT. Por esto, la linea roja se comporta como un borde holográfico que recubre una "isla". La información de esta "isla" ya no pertenece a la CFT del agujero negro sino a la CFT exterior de la radiación de Hawking:
Esto quiere decir que a partir del tiempo de page la superficie de RT de la CFTrad está dentro del AN y por tanto la radiación de Hawking contiene información del interior del agujero negro. ¡La información ha escapado del agujero negro! Pero, ¿Como es esto posible? ¿Como escapa realmente la información del AN?
En todo este esquema falta una parte fundamental: la fórmula de RT puede obtenerse de forma independiente utilizando un método llamado "réplicas de agujeros negros". De hecho, puede considerarse que estas réplicas son realmente el origen de esta fórmula. Como veremos en el siguiente apartado, las réplicas pueden suponer la solución definitiva a la paradoja de la información.
Réplicas de agujeros negros y agujeros de gusano
¿Que sucedería si en lugar de considerar un solo agujero negro, considero un conjunto de n agujeros negros desconectados? A primera vista esto parece algo muy extraño, sin embargo, la entropía es una magnitud estadística, es decir, solo tiene sentido para un número grande de medidas. Por esto, en lugar de medir n veces el mismo agujero negro considero la medida de n agujeros negros idénticos. Este método se denomina réplicas de agujeros negros. Para realizar este cálculo hemos de usar la herramienta matemática más utilizada en las aproximaciones de gravedad cuántica: la integral de caminos gravitacional:
En esencia esta expresión significa sumar todas las posibles geometrías que comienzan en el estado A y acaban en el estado B ponderadas por el valor de su acción. En general esta suma implica infinitos términos y es extremadamente difícil de calcular. Una forma de resolverla es encontrar los términos de la suma que más contribuyen y descartar aquellos cuya contribución es despreciable.
Denominaremos psi(i) a los estados del interior del agujero negro y i(R) a los estados de un hipotético sistema auxiliar exterior donde se almacena la radiación de Hawking emitida por el agujero negro. De esta forma el estado conjunto de los dos sistemas será:
La denominada matriz densidad nos permite medir el grado de entrelazamiento entre dos sistemas cuánticos. La matriz densidad correspondiente al sistema anterior es:
Los estados psi(i) y psi(j) son amplitudes gravitatorias. Existe una formulación denominada "JT gravity" donde los cálculos en un sistema gravitatorio en cuatro dimensiones pueden reducirse por holografía y métodos de reducción dimensional
a una CFT en dos dimensiones. En esta formulación los estados gravitacionales psi(i) y psi(j) se corresponden con las condiciones inicial y final en el borde holográfico. Esto se puede representar esquemáticamente como:
La linea negra simboliza el borde de la CFT y la flecha la evolución temporal del estado j al estado i. Para resolver la integral de caminos gravitacional debemos sumar todos los posibles caminos entre "j" e "i" a través de la parte del espacio-tiempo AdS (el "bulk") correspondiente a este borde CFT. Como esta suma está ponderada existen términos que contribuyen mucho y otros que son prácticamente despreciables. El término que más contribuye a la suma es el correpondiente al área bidimensional (el área mínimo) contenido por una geodésica entre j e i :
Este es el término dominante que Hawking incluyó en sus cálculos y representa una CFT aislada sin entrelazamiento en el que todos sus estados son ortogonales.
Para calcular la entropía de entrelazamiento entre el agujero negro y la radiación de Hawking emitida consideramos dos copias de nuestra CFT, una representa la CFT del interior del agujero negro y la otra representa la CFT de la radiación emitida:
A continuación hacemos la pregunta clave: En dos dimensiones ¿Cuantas formas existe de "rellenar" holográficamente los dos bordes con un espacio-tiempo AdS complementario? La respuesta es que no solo hay solo una forma como Hawking consideró sino que hay dos formas diferentes:
La primera forma de la izquierda es equivalente a la configuración "estándar" que Hawking incluyó en sus cálculos y se corresponde con dos CFTs desconectadas con una topología equivalente a la de dos discos. La segunda forma se corresponde con dos CFTs conectadas con una topología de un solo disco y cuya geometría es equivalente a la de dos espacio-tiempos conectados mediante un agujero de gusano.
A continuación nos preguntamos: ¿Cual es la consecuencia de incluir en los cálculos la contribución de la segunda configuración?
En nuestro modelo de JT gravity podemos calcular la entropía total considerando una magnitud que mide el grado de entrelazamiento. De esta forma obtenemos que la contribución total a la entropía de las dos configuraciones anteriores es:
Donde k representa el número de microestados entrelazados y Z1-Z2 son las integrales de camino correspondientes a cada una de las dos configuraciones. El numerador del cociente central contiene las contribuciones de ambas configuraciones (el factor del denominador es solo un factor de normalización). El primer valor kZ12 se corresponde con la primera configuración sin entrelazamiento ya que tenemos un solo "loop" en k y dos configuraciones identicas e independientes Z1. El segundo valor k2Z2 se corresponde con la segunda configuración con un agujero de gusano ya que tenemos dos "loops" en k y una sola configuración geométrica Z2. Las sumas Z1 y Z2 dependen de la topología, sus contribuciones son proporcionales al siguiente factor:
Donde So es la acción en "JT gravity" y X es un factor denominado "característica de Euler". En el caso de un disco este factor vale 1. Por tanto tenemos que:
Y podemos concluir que:
Esta expresión representa nuestra conclusión clave: en las primeras fases de la evaporación cuando k es pequeño, domina el primer término que representa la primera configuración pero cuando el agujero negro ya es viejo y k es grande domina el segundo término que representa la segunda configuración. Esto nos indica que despúes del tiempo de Page la información del agujero negro comienza a escapar debido a que el sistema predominante en la integral de caminos gravitacional es el de una configuración de dos espacio-tiempos unidos con un agujero de gusano.
Como vimos en este artículo el entrelazamiento es el "pegamento" del espacio-tiempo. Cuando aumenta el entrelazamiento entre dos espacio-tiempos desconectados estos comienzan a conectarse y a "fusionarse" para formar una sola geometría. ¡ Esta puede ser la clave para resolver la paradoja de la información !
Réplicas de AN entrelazadas: ¿Hacia un cambio de paradigma?
La solución a la paradoja de la información presentada en este artículo, aunque aún no es definitiva, es la propuesta más prometedora de todas las que se han realizado. La interpretación de este resultado es que la paradoja de la información solo puede resolverse si consideramos una suma de geometrías que contienen agujeros negros idénticos. Más concretamente, lo que medimos es una media ponderada de una suma de geometrías. A medida que la entropía de entrelazamiento aumenta las geometrías desconectadas pasan a conectarse a través de un agujero de gusano. De hecho, es la formación de un agujero de gusano lo que permite la aparición de una isla en el interior del agujero negro en el tiempo de Page y por tanto lo que permite a la información escapar del agujero negro.
Para finalizar, una opinión personal: desde un punto de vista conceptual, la imagen que hemos descrito en este artículo está mucho más cerca de la interpretación de la mecánica cuántica como una suma de caminos de Feynmann o de una visión similar a los muchos mundos de Everett o incluso del Multiverso que de las interpretaciones más "ortodoxas" como la interpretación de Copenhague. Por esto, desde este punto de vista, podemos afirmar que la resolución de la paradoja de la información en los agujeros negros tiene muchas probabilidadades de suponer un cambio de paradigma en la visión global que tenemos del Universo que habitamos.
Fuentes:
Entanglement wedge reconstruction and the information paradox , Replica wormholes and the black hole interior
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